Một số biện pháp giúp học sinh tìm chữ số tận cùng của lũy thừa

Một số biện pháp giúp học sinh tìm chữ số tận cùng của lũy thừa.

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong trường trung học cơ sở môn toán giữ một vị trí quan trọng, các kiến thức của môn toán là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác và hoạt động hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Đồng thời môn toán còn giúp học sinh có  năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức và giá trị thẩm mỹ.

 Toán học đòi hỏi ở học sinh tính tự học, sáng  tạo, tự tìm tòi và khám phá ra các kiến thức mới. Là một môn học được coi là khó với đại đa số học sinh bởi kiến thức về toán học rất nhiều những công thức, định lý, hệ quả, quy tắc làm cho học sinh khó nhớ, khó  vận dụng làm bài sau mỗi một chương, một học kỳ, hay sau một năm học. Sau khi trực tiếp giảng dạy môn toán lớp 6 và ôn thi HSG môn MTBT lớp 9, tôi thấy các bài toán vê tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa, chữ số hàng trăm, hàng nghìn của một số là một bài toán khó vì học sinh thường không nắm vững phương pháp giải. Vì vậy học sinh thường ngại khó khi gặp dạng toán này.

Vậy làm thế nào để học sinh dễ nắm vững các kiến thức, các phương pháp giải về tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa? Từ thực tế giảng dạy, qua trao đổi với đồng nghiệp và tham khảo tài liệu tôi đã rút ra được một số phương pháp tìm một, hai, ba chữ số tận cùng của một lũy thừa bằng phương pháp số học 6 mà có thể không cần sử dụng đến các phương pháp phức tạp hơn như phương pháp đồng dư thức ,…Với phương pháp này , tôi tin rằng học sinh sẽ dễ tiếp thu và giải thành thạo dạng toán này trong bồi dưỡng học sinh giải toán qua mạng Internet lớp 6 và bồi dưỡng nâng cao cho học sinh khá, giỏi, thi các cấp.

2. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:
3. Tìm một chữ số tận cùng:

Cách 1:

Để tìm một chữ số tận cùng của một lũy thừa, ta chú ý rằng:

• Các số có tận cùng bằng 0, 1, 5, 6 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng có tận cùng bằng 0, 1, 5, 6.

-Các số có tận cùng bằng 2, 4, 8 nâng lên lũy thừa bậc 4  thì được số có tận cùng bằng 6.

-Các số có tận cùng bằng 3, 7, 9 nâng lên lũy thừa bậc 4  thì được số có tận cùng bằng 1.

Hoặc:

• Các số có tận cùng 4 nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì được số có tận cùng bằng 4. Các số có tận cùng 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn thì được số có tận cùng bằng 6.
• Các số có tận cùng 9 nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì được số có tận cùng bằng 9. Các số có tận cùng 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn thì được số có tận cùng bằng 1.

Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của:

1. 2009²⁰⁰⁸

Ta có: 2009 có chữ số tận cùng là chữ số 9, 2008 là số mũ chẵn.

Vậy chữ số tận cùng của 2009²⁰⁰⁸ là 1.

1. 2²⁰⁰⁹

Ta có: 2²⁰⁰⁹ = (2⁴)⁵⁰².2 = (16)⁵⁰².2  =

Vậy chữ số tận cùng của 2²⁰⁰⁹ là 2.

1. 7¹⁹⁹³

Ta có: 7¹⁹⁹³ = (7⁴)⁴⁹⁸. 7

Vậy chữ số tận cùng của 7¹⁹⁹³ là 7

Bài 2: a) Tìm chữ số hàng  đơn vị của:

17¹⁹⁸³ + 11¹⁹⁸³ – 7¹⁹⁸³

Ta có: 17¹⁹⁸³ = (17⁴)⁴⁹⁵.17³ =

 11¹⁹⁸³ =

 7¹⁹⁸³ =

• Chữ số hàng đơn vị của số 17¹⁹⁸³ + 11¹⁹⁸³ – 7¹⁹⁸³ là (3 + 1 – 3) = 1

1. Tìm chữ số cuối cùng của tổng

Đặt

Ta có: 2¹⁰¹ = (2⁴)²⁵.2 = (16)²⁵.2 =

Do đó:  có chữ số tận cùng bằng 0.

Vậy chữ số cuối cùng của tổng

là 0

Bài 3: a) Hỏi số sau đây là phân số hay số nguyên?

a = 0,7.(2001²⁰⁰⁴ + 2003²⁰⁰⁶)

Ta có:          2001²⁰⁰⁴ =

          2003²⁰⁰⁶ = (2003⁴)⁵⁰¹.3² =

Suy ra: 2001²⁰⁰⁴ + 2003²⁰⁰⁶ có chữ số tận cùng bằng 0.

Do đó: a = 0,7.(2001²⁰⁰⁴ + 2003²⁰⁰⁶) là số nguyên.

b)Chứng tỏ rằng số

A = 0,3.(1983¹⁹⁸³– 1917¹⁹¹⁷) là số nguyên.

Ta có 1983¹⁹⁸³ = (1983⁴)⁴⁹⁵.1983³ =

          1917¹⁹¹⁷ = (1917⁴)⁴⁷⁹. 1917 =  

Suy ra: 1983¹⁹⁸³– 1917¹⁹¹⁷ có chữ số tận cùng bằng 0.

Do đó: A = 0,3.(1983¹⁹⁸³– 1917¹⁹¹⁷) là số nguyên.

c)Số sau đây có nguyên hay không?

x= 0,8.(1994¹⁹⁹⁴ – 1994¹⁹⁹⁰)

Ta có: 1994¹⁹⁹⁴ và 1994¹⁹⁹⁰ cùng có chữ số tận cùng bằng 4 và đều có số mũ chẵn.

Suy ra: 1994¹⁹⁹⁴ – 1994¹⁹⁹⁰ có chữ số tận cùng bằng 0.

Do đó: x= 0,8.(1994¹⁹⁹⁴ – 1994¹⁹⁹⁰) Z

Cách 2:  a) n^{4k  + 1} và n có cùng chữ số hàng đơn vị

1. b) Tổng quát: a^4n+k và a^k ( ) có cùng chữ số hàng đơn vị.

Chứng minh:     n^{4k  + 1} và n có cùng chữ số hàng đơn vị

  n⁵  – n 2,  n⁵  – n 5,

Mà ƯCLN(2,5) = 1 nên      n⁵  – n 10,

Ta lại có:        n^{4k + 1}  – n = n(n^4k – 1)  n(n⁴  – 1)

• n^{4k + 1}  – n 10

Ta suy ra: n^{4k  + 1} và n ( )có cùng chữ số hàng đơn vị.

Tổng quát: a^4n+k và a^k ( ) có cùng chữ số hàng đơn vị.

Bài 4: a) Tìm chữ số tận cùng của tổng:

Giải:

Hai số a^{4n + k} và a^k ,  có cùng chữ số hàng đơn vị

Ta có:

 Và       P = 2 + 3 + 4 + …. + 502

Có cùng hàng đơn vị

Ta có: Tổng P = 504.501:2 = 252.501 =  có chữ số tận cùng bằng 2.

Vậy chữ số tận cùng   là chữ số 2.

b)Tìm chữ số hàng đơn vị trong biểu diễn ở hệ thập phân của số

A = 17²⁰⁰⁵ + 7²⁰⁰⁵ + 37²⁰⁰⁵

 Hai số a^{4n + k} và a^k ,  có cùng chữ số hàng đơn vị

Do đó số A = 17²⁰⁰⁵ + 7²⁰⁰⁵ + 37²⁰⁰⁵ có cùng chữ số hàng đơn vị với

               B = 17 + 7 + 37 = 61

Vậy chữ số hàng đơn vị của A là 1.

Bài 5: Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n:

1. 7⁴ⁿ – 1 chia hết cho 5;
2. 3^{4n + 1} + 2 chia hết cho 5;
3. 2^{4n + 2} + 1 chia hết cho 5;
4. 9^{2n + 1} + 1 chia hết cho 10;

Giải:

1. Tìm hai chữ số tận cùng:

Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa, ta chú ý rằng:

• Các số có tận cùng bằng 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng có tận cùng bằng 01, 25, 76.
• Các số 3²⁰(hoặc 81⁵), 7⁴, 51², 99² có tận cùng bằng 01.
• Các số 2²⁰ , 6⁵, 18⁴, 24², 68⁴,74² có tận cùng bằng 76.

Bài 6: Tìm hai chữ số cuối cùng của:

1. 2⁹⁹⁹

Ta có: 2⁹⁹⁹ = (2²⁰)⁴⁹. 2¹⁹ =

Vậy hai chữ số cuối cùng của  2⁹⁹⁹ là 88

1. 7¹⁹⁹¹

Ta có: 7¹⁹⁹¹ = (7⁴)⁴⁹⁷.7³ =

Vậy 7¹⁹⁹¹ có hai chữ số cuối cùng bằng 43

1. 2¹⁰⁰

Ta có: 2¹⁰⁰ = (2²⁰)⁵ =

Vậy 2¹⁰⁰ có hai chữ số tận cùng bằng 76

1. 51⁵¹

Ta có: 51⁵¹ = (51⁴)¹².51³ =

Vậy 51⁵¹ có hai chữ số tận cùng bằng 51.

1. 3⁹⁹⁹

Ta có 3⁹⁹⁹ = (3²⁰)⁴⁹.3¹⁹ =

Vậy 3⁹⁹⁹ có hai chữ số tận cùng bằng 67

14101. 14¹⁰¹.16¹⁰¹

Ta có: 14¹⁰¹.16¹⁰¹ = (14.16)¹⁰¹ = 224¹⁰¹ = (224²)⁵⁰.224

Vậy 14¹⁰¹.16¹⁰¹ có hai chữ số tận cùng bằng 24

Bài 7: Tìm hai chữ số tận cùng của:

                                      Giải

+) Ta có: 9⁹ – 1= (9 – 1).(9⁸ + 9⁷ + 9⁶ + … + 1)  4

Suy ra: 9⁹ = 4k + 1 (k N)

Do đó: = 7^{4k + 1} = (7⁴)^k.7 = (2401)^k.7 = có hai chữ số tận cùng là 07

+) Ta có: 99⁹⁹ = 2k + 1 (k N)

Nên = 99^{2n + 1} = (99²)ⁿ.99 = (9801)ⁿ.99 =

Vậy có hai chữ số tận cùng là 99.

• Tìm ba chữ số tận cùng trở lên:

Để tìm ba chữ số tận cùng trở lên của một lũy thừa, ta chú ý rằng:

• Các số có tận cùng bằng 001, 625, 376 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng có tận cùng bằng 001, 625, 376.

• Số có tận cùng bằng 0625 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng có tận cùng bằng

Bài 6: Tìm ba chữ số tận cùng của

                             Giải:

Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 9²⁰⁰³

Ta có:

1. 2014⁵⁰⁰

Ngoài cách làm trên ta có thể sử dụng tính chất:

Nếu a N và (a,5) = 1 thì a¹⁰⁰ – 1 125

Ta có 2014⁵⁰⁰ = (2014¹⁰⁰)⁵

Do (2014,5) = 1 nên 2004¹⁰⁰ – 1 125

Suy ra 2014¹⁰⁰ chia cho 125 dư 1

Suy ra (2014¹⁰⁰)⁵ chia cho 125 dư 1

Do đó 2014⁵⁰⁰ chỉ có thể tận cùng là 126,251, 376, 501, 626,751, 876.

Do 2014⁵⁰⁰ chia hết cho 8 nên chỉ có thể tận cùng là 376.

Bài 7: Tìm 4 chữ số tận cùng của 5²⁰⁰⁵

Ta có: 5²⁰⁰⁵ = (5⁴)⁵⁰¹.5 = (625)⁵⁰¹.5=(0625)⁵⁰¹.5 =

Vậy 4 chữ số tận cùng của số 5¹⁹⁹² là 3125.

Bài 8: Tìm ba chữ số tận cùng của

1. 5¹⁰⁰⁰
2. 29ⁿ.69ⁿ
3. 3ⁿ⁺³.667ⁿ⁺¹

Giải:

Bài 9: Chứng tỏ rằng:

 chia hết cho 1000

 tận cùng bằng 002

          Giải:

Bài 10: Tìm ba chữ số cuối cùng của số

Trong đó m là một số tự nhiên bất kỳ khác 0.

                   Giải:

Giả sử m là một số có dạng

Với a, b  N và

Ta có:

Ta suy ra: 3 chữ số cuối cùng của số

chính là 3 chữ số cuối cùng của số

 trong đó b là chữ số hàng đơn vị của m.

Xét các khả năng sau:

1. Trường hợp b = 0

Chữ số cuối cùng của số  là ba chữ số 0.

   Trường hợp b = 5

Ta có:

Suy ra: có ba chữ số cuối cùng là 625

Vậy 3 chữ số cuối cùng của là 625.

3. Trường hợp b = 1,3,7,9

Ta có:

Trong trường hợp này  b⁴ có dạng

                   b⁴ = 10n + 1

   Suy ra: có ba chữ số cuối cùng là 001.

4. Trường hợp b = 2,4,6,8

Trong trường hợp này  b⁴ có dạng:

                             b⁴ = 5q + 1

 Ta có chia hết cho 8 và chia cho 125 dư 1

       Ta có: b¹⁰⁰ = 1000f +

Do đó số  chia hết cho 8 và chia cho 125 dư 1.

Suy  ra  = 1,126,251,501,626,751,876

   3 chữ số cuối cùng của số b¹⁰⁰ trong trường hợp này là 376

Vậy : 3 chữ số cuối cùng của số m¹⁰⁰ , m là một số tự nhiên bất kỳ, là:

• 000 nếu m có chữ số hàng đơn vị là 0.
• 625 nếu m có chữ số hàng đơn vị là 5.
• 001 nếu m có chữ số hàng đơn vị là 1,3,7,9.
• 376 nếu m có chữ số hàng đơn vị là 2,4,6,8.

3. Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu :

Sau một thời gian áp dụng và nghiên cứu tôi thu được nhiều kết quả đáng kể, học sinh lớp 6 bước đầu đã làm quen, nhận dạng và giải các bài toán về tìm chữ số tận cùng của lũy thừa  dần thành thạo, các em đã không còn bỡ ngỡ và tỏ ra khá quen thuộc, tìm ra cách giải  cho các bài toán nâng cao.

4, Kết luận:

Như vậy từ chỗ học sinh lúng túng trong kiến thức và phương pháp, thậm chí còn tỏ thái độ  không thích khi gặp dạng toán này. Qua thực tế giảng dạy với hệ thống kiến thức nêu trên học sinh đã giải thành thạo các dạng toán tìm chữ số tận cùng trong các trường hợp cụ thể. Khi nắm vững kiến thức và phương pháp giải học sinh sẽ có được sự hứng thú góp phần tạo ra niềm say mê trong học tập từ đó nâng cao chất lượng trong dạy học bộ môn toán.

Những phương pháp được trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm này chỉ là những phương pháp giải một số dạng toán cụ thể theo phương pháp số học lớp 6. Hy vọng rằng với phương pháp này sẽ giúp cho giáo viên bộ môn toán trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi có thêm kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh đạt kết quả cac trong các kỳ thi các cấp. Dù đã cố gắng tìm tòi song kinh nghiệm bản thân còn hạn chế nên trong cách trình bày không tránh khỏi những sơ suất và thiếu sót. Nên tôi rất mong sự giúp đỡ của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để đề tài tôi trình bày trên được hoàn chỉnh hơn và  tôi có thể rút kinh nghiệm trong  quá trình giảng dạy trong những năm tiếp theo.

NỘI DUNG KHÔNG HIỂN THỊ ĐẦY ĐỦ VÌ KÍ HIỆU TOÁN HỌC. BẤM VÀO ĐÂY ĐỂ TẢI MIỄN PHÍ BẢN CHUẨN