Một số kinh nghiệm bồi dưỡng HSG 4, 5 giải toán có lời văn có nội dung hình học

DẠNG 1: Các bài toán về tính chu vi; Kèm theo nội dung đóng cọc, rào vườn.

1. VÍ DỤ : Vườn rau nhà em hình chữ nhật có chiều dài bằng  chiều rộng và hơn chiều rộng 16 m. Ba em muốn đóng cọc để rào giậu xung quanh. Cọc nọ cách cọc kia 2m. Hỏi ba em phải dùng bao nhiêu cọc?

Yêu cầu:

Để giải bài toán này học sinh phải biết vận dụng tổng hợp các kiến thức sau:

a, Cách giải bài toán điển hình: Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của chúng (16 và ).

b, Công thức tính chu vi hình chữ nhật.

c, Cách tính số “cây” trồng trên đường khép kín (cây ở đây là cọc).

2.Cách giảng dạy:

        GV gợi ý cho học sinh tự giải:

         a, Các loại toán 1a và 1b, HS đã được học trong chương trình. Song loại toán 1c thì chưa. Do đó, giáo viên cần hướng dẫn học sinh giải bài toán chuẩn bị, chẳng hạn: “Một mảnh đất hình chữ nhật dài 8m và rộng 6m. Người ta muốn đóng cọc xung quanh, cọc nọ cách cọc kia 2m. Hỏi phải dùng bao nhiêu cọc?”

Có thể làm như sau:

–        Vẽ hình minh họa (hình 1) (hình chữ nhật có cạnh dài được chia thành 8 đoạn, mỗi đoạn dài 1m, có cạnh ngắn được chia làm 6 đoạn như thế, minh họa mỗi cọc bằng một điểm tô đậm).

–        Đếm số điểm tô đậm: 14 điểm

–        Để tính độ dài đường (gấp khúc khép kín) bao quanh vườn (trên đó có đóng cọc), cần tính chu vi hình chữ nhật: (8 + 6) x 2 = 28 (m)

–        Để biết chu vi chứa bao nhiêu “ khoảng cách” giữa hai cọc cần lấy chu vi chia cho khoảng cách 2m giữa hai cọc: 28 : 2 = 14 (cọc)

–        Rút ra kết luận: “Muốn tính số cọc đóng xung quanh hình chữ nhật ta lấy chu vi chia cho khoảng cách giữa hai cọc”; vì trong trường hợp đường khép kín: số lần khoảng cách trên đường đó bằng số cọc.

b, Sau khi được hướng dẫn giải bài toán chuẩn bị, GV có thể nêu câu hỏi: “Bài toán cho gì?”, “Bài toán hỏi gì?”để học sinh trả lời, rồi dựa vào đó học sinh có thể tự tóm tắt bài toán:

Đóng cọc xung quanh cách nhau 2m.

Số cọc:…?

c, Phân tích bài toán: Có thể dùng một trong các cách sau:

Cách 1:

–        Bài toán hỏi gì? (Số cọc)

–        Muốn tìm số cọc em làm thế nào? (Lấy chu vi chia cho khoảng cách giữa hai cọc)

–        Khoảng cách giữa hai cọc biết chưa? (Biết rồi)

–        Chu vi hình chữ nhật biết chưa? (Chưa)

–        Muốn tính chu vi hình chữ nhật em làm thế nào? (Lấy chiều dài cộng chiều rộng rồi nhân 2

–        Chiều dài và chiều rộng đã biết chưa?  (Chưa)

–        Nhưng ta đã biết gì về quan hệ của chúng? (Hiệu là 16m, tỉ số là )

–        Vậy ta có thể tính được chiều dài và chiều rộng không? (Tính được). Dựa vào bài toán điển hình nào? (Tìm hai số biết hiệu và tỉ)

Có thể ghi tắt quá trình phân tích trên bằng sơ đồ sau ( gọi là sơ đồ phân tích bài toán):

Cách 2:

–        Bài toán hỏi gì? (Số cọc)

–        Muốn biết số cọc cần biết những gì? (Chu vi hình chữ nhật và khoảng cách giữa hai cọc)

–        Đã biết khoảng cách giữa hai cọc chưa? (Biết rồi)

–        Đã biết chu vi chưa? (Chưa biết)

–        Muốn tính chu vi em cần biết gì? (Chiều dài và chiều rộng)

–        Đã biết những gì về chiều dài và chiều rộng? (Hiệu là 16m, tỉ số là )

–        Thế em có tính được chiều dài và chiều rộng không? (Tính được). Dựa vào bài toán điển hình nào? (Tìm hai số biết hiệu và tỉ)

d, HS đi ngược sơ đồ phân tích trên để thực hiện các phép tính và giải bài toán theo trình tự:

– Tính chiều dài và chiều rộng.

– Tính chu vi.

– Tính số cọc.

                       Bài giải:

Số phần bằng nhau trong 16m là:

5 – 3 = 2 (phần)

Mỗi phần bằng nhau là:

16 : 2 = 8 (m)

Chiều dài vườn rau là:

8 x 5 = 40 (m)

Chiều rộng vườn rau là:

8 x 3 = 24 (m)

Chu vi vườn rau là:

(40 + 24) x 2 = 128 (m)

Số cọc cần dùng là:

128 : 2 = 64 (cọc)

            Đáp số: 64 cọc

3.Mở rộng vấn đề:

a, Còn có thể giải bài toán theo các cách khác như sau:

Cách 2: Số phần bằng nhau trong 16m là:

5 – 3 = 2 (phần)

Mỗi phần bằng nhau là:

16 :2 = 8 (m)

Số phần bằng nhau trong chu vi là:

(5 + 3) x 2 = 16 (phần)

Chu vi vườn rau là:

16 x 8 = 128 (m)

Số cọc cần dùng là:

128 : 2 = 64 (cọc)

b, Trong cả hai cách giải trên nếu như chưa tóm tắt đề bằng sơ đồ đoạn thẳng thì ta phải hiểu ngầm một điều là” Nếu coi chiều dài gồm 5 phần bằng nhau thì chiều rộng gồm 3 phần như thế”. Để tránh hiểu ngầm như vậy có thể giải bằng tính gộp như sau:

Chiều rộng vườn rau là:…(m)

Chiều dài vườn rau là:

24 + 16 = 40 (m)

v.v…

Tuy nhiên trong cách giải này bước tính thứ nhất chứa đến ba phép tính (5 – 3 = 2;

16 : 2 = 8; 8 x  3 = 24) nên cũng hơi khó hiểu đối với trẻ vì quá ngắn, gọn.

c, Có thể biến đổi bài toán này theo một số hướng như sau:

– Đưa thêm vào một cái cổng (chẳng hạn) rộng 4m với hai cột hai bên xây bằng gạch. Lúc đó, số cọc sẽ bớt đi 3 cái.

– Yêu cầu tính số cây tre cần dùng biết mỗi cây chặt được (chẳng hạn) 4 cọc.

– Cho khoảng cách giữa hai cọc tính bằng đơn vị khác với mét để học sinh làm thêm thao tác đổi đơn vị.

– Yêu cầu tính diện tích lưới kẽm (lưới B.40) dùng để rào quanh vườn biết hàng rào cao (chẳng hạn) 1,2 m.

      DẠNG 2: Các bài toán về diện tích các hình phẳng kèm theo nội dung tính năng suất, sản lượng,…

 VÍ DỤ : Chu vi một vườn rau hình chữ nhật là 97 m. chiều dài hơn chiều rộng là 11,5 m. Biết rằng mỗi mét vuông vườn thu hoạch được 2,4 kg rau. Tính số rau thu được trên cả khu vườn.

1.    Yêu cầu:

Bài này yêu cầu học sinh vận dụng tổng hợp các kiến thức kĩ năng về:

a)    Cách tính chu vi hình chữ nhật, diện tích hình chữ nhật.

b)    Cách tính sản lượng theo năng suất và diện tích

c)    Giải bài toán điển hình: Tìm hai số biết tổng và hiệu.

d)    Cách làm tính đối với số tự nhiên và thập phân.

2.     Cách giảng dạy: Học sinh tự giải theo sự hướng dẫn của giáo viên.

a)    Tìm hiểu đề toán

– Bài toán cho gì? (Vườn rau hình chữ nhật, chu vi 97m, chiều dài hơn chiều rộng 11,5m;1m2 thu được 2,4 kg rau).

– Bài toán hỏi gì?( Cả vườn rau thu được bao nhiêu kg rau?)

b)Tóm tắt bài toán.

Có thể dùng một trong các cách tính sau:

Chu vi hình chữ nhật     : 97 m

Chiều dài hơn chiều rộng: 11,5 m

1 m2                               : 2,4 kg

S                                   : ……kg?

c) Phân tích bài toán:

–        Bài toán hỏi gì? ( Số kg rau thu hoạch trên cả vườn )

–        Muốn tìm số rau đó ta làm thế nào? (Lấy số rau thu hoạch được trên 1 m2 (hay năng suất) nhân với diện tích vườn)

–        Năng suất biết chưa? (Biết rồi)

–        Diện tích vườn biết chưa? (Chưa biết)

–        Muốn tìm diện tích vườn ta làm thế nào? (Lấy chiều dài nhân chiều rộng).

–        Chiều dài và chiều rộng đã biết chưa? (chưa). Nhưng đã biết gì về chiều dài và chiều rộng? (Hiệu là 11,5m)

–        Vậy cần biết thêm gì nữa? (Tổng hoặc tỉ số của chúng)

–        Có thể tính được tổng của chiều dài và chiều rộng bằng cách nào? (Lấy chu vi chia đôi)

d)  Học sinh có thể đi ngược sơ đồ trên để thực hiện các phép tính và biết bài giải.

Bài giải;

Nửa chu vi hình chữ nhật, hay tổng chiều dài và chiều rộng là:

97 : 2 = 48,5 (m)

Chiều dài vườn rau là:

(48,5 + 11,5 ) : 2 = 30 (m)

Chiều rộng vườn rau là :

30 – 11,5 = 18,5 (m)

Diện tích vườn rau là :

30 x 18,5 = 555 ( m2)

Số rau thu được là :

2,4 x 555 = 1332 (kg)

Đáp số : 1332 kg rau

3.Mở rộng :

a) Có thể giải bài toán này mà không dùng đến quy tắc « giải bài toán tìm hai số khi biết  tổng và hiệu » như sau :

… Muốn tính diện tích hình chữ nhật cần biết gì ? ( Chiều dài và chiều rộng)

–  Trên hình bên, hình 1 là hình gì ? (Hình vuông). Hình II là hình gì ? ( Hình chữ nhật) Chiều rộng của hình II là bao nhiêu ? (11,5m)

–   Muốn tính chiều rộng của vườn rau, tức là độ dài cạnh hình vuông I, thì cần tính gì trước ? (Chu vi hình vuông I).

–    Ta có thể tính chu vi hình vuông I bằng cách nào ? {97m – (11,5m + 11,5m) = 74m} v.v…

                               Bài giải :

4 lần chiều rộng vườn rau là :

97 – (11,5 + 11,5) = 74(m)

Chiều rộng vườn rau là :

74 : 4 = 18,5 (m)

Chiều dài vườn rau là :

18,5 + 11,5 = 30 (m)

v. v…

b) Có thể thay điều kiện về hiệu của chiều dài và chiều rộng bằng điều kiện về tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng.

c) Sau khi tính được chiều rộng vườn rau có thể tính được diện tích vườn rau bằng cách tính diện tích hình I, diện tích hình 2 rồi cộng lại.

18,5 x 18,5 + 18,5 x 11,5 = 555 (m2)

Dĩ nhiên là bước giải này phải dùng tới 3 phép tính nên dài hơn cách tính lúc đầu : (18,5 + 11,5) x 18,5 = 555(m2) chỉ dùng tới 2 phép tính.

        DẠNG 3 : Các bài toán về hình phẳng , kèm theo nội dung mở rộng (hoặc thu hẹp) ruộng, vườn, sân,…

VÍ DỤ  : Một mảnh vườn hình thang có diện tích 60 m2, hiệu độ dài hai đáy bằng 4m. Hãy tính độ dài mỗi đáy biết rằng nếu giảm đáy lớn đi 3m thì diện tích mảnh vườn sẽ giảm đi 6 m2.

1.  Yêu cầu :

Để giải được bài này HS  cần biết vận dụng tổng hợp các kiến thức và kĩ năng sau :

a)   Vẽ hình thu hẹp của một hình thang bằng cách rút ngắn đáy lớn của nó.  Vẽ đường cao của hình thang và hình tam giác.

b) Quy tắc tính ngược để :

–   Tính chiều cao tam giác theo diện tích và đáy.

–     Tính tổng hai đáy hình thang theo diện tích và chiều cao.

c)    Giải bài toán điển hình : Tìm hai số biết tổng và hiệu của chúng.

2.   Cách giảng dạy :

GV gợi ý để học sinh tự giải :

a) Hướng dẫn vẽ hình :

–  Vẽ hình thang ABCD có đáy lớn AD, đáy nhỏ BC.

–  Giảm bớt đáy lớn một đoạn

AE = 3m (ghi 3m vào AE)

– Diện tích bị giảm bớt là diện

tích hình nào ? (Tam giác ABE).

Ghi 6m2 vào trong tam giác ABE.

b) Hướng dẫn suy nghĩ :

b1) Bài toán cho gì ? (Diện tích hình thang là 60 m2. Hiệu hai đáy là 4m. Đáy lớn giảm đi một đoạn AE = 3 m. Diện tích giảm đi hay diện tích tam giác ABE là 6 m2).

– Bài toán hỏi gì ? (Độ dài đáy lớn và đáy nhỏ)

–   Đã biết gì về hai đáy ? (Có hiệu là 4m). Muốn tính được hai đáy cần biết thêm gì ? (Tổng hoặc tỉ số của chúng).

b2) Ta thử đi tìm tổng hai đáy

–  Muốn tính tổng hai đáy ta làm thế nào ? (Lấy hai lần diện tích hình thang chia cho chiều cao hình thang)

– Diện tích hình thang biết chưa ? (Biết rồi). Đã biết chiều cao hình thang chưa ? (Chưa biết). Vẽ đường cao BH.

–  BH còn là chiều cao của hình nào nữa ? (Tam giác ABE)

–  Đã biết gì về tam giác ABE ? (Diện tích và độ dài đáy)

– Thế có tính được chiều cao AH của tam giác không ? (Tính được)

Ta có thể hình thành sơ đồ sau :

c) ..Đi ngược quá trình suy nghĩ trên, HS có thể giải bài toán theo trình tự sau :

–        Tính chiều cao BH của tam giác ABE theo diện tích và độ dài đáy. Đó cũng là chiều cao của hình thang.

–        Tính tổng độ dài hai đáy hình thang (ban đầu) theo diện tích và chiều cao.

–        Tính độ dài hai đáy hình thang (ban đầu) theo tổng và hiệu của chúng.

Bài giải :

Chiều cao BH của tam giác ABE (hay chiều cao hình thang) là :

6 x 2 : 3 = 4 (m)

Tổng độ dài hai đáy của hình thang là :

60 x 2 : 4 = 30 (m)

Đáy lớn dài :

(30 + 4) : 2 = 17 (m)

Đáy bé dài :

17 – 4 = 13 (m)

Đáp số : Đáy lớn : 17 m, đáy bé : 13m

3.    Mở rộng :

a)    Nếu không vẽ hình, học sinh có thể tưởng tượng và viết bài giải như sau :

Chiều cao của phần vườn bị thu hẹp hình tam giác là :

6 x 2 :3 = 4 (m)

Đây cũng là chiều cao của hình thang vậy tổng độ dài hai đáy hình thang là :

60 x 2 :4 = 30 (m)

v.v …

b) Có thể biến đổi bài toán này theo một số hướng sau :

– Thay việc giảm đáy lớn 3m bằng việc tăng đáy lớn ( chẳng hạn 3m) ; khi đó diện tích vườn sẽ tăng thêm 6 m2.

– Cho cả hai đáy cùng tăng hoặc cùng giảm ; hoặc một đáy tăng, một đáy giảm ; kèm theo sự thay đổi diện tích.

– Tính xem đáy lớn hoặc đáy bé phải tăng hoặc giảm bao nhiêu mét ; để diện tích vườn tăng, hoặc giảm (chẳng hạn 6 m2).

– Thay điều kiện hiệu hai đáy bằng 4m, bởi điều kiện về tỉ số hai đáy ( chẳng hạn bằng ).

– Thay mảnh vườn hình thang bằng mảnh vườn hình vuông. Lúc này không cần phải cho diện tích hình vuông mà chỉ cần cho mức tăng của cạnh và mức tăng kèm theo của diện tích vườn là đủ để tính được độ dài cạnh hình vuông.

– Thay mảnh vườn hình thang bằng ao cá hình tròn hoặc bồn hoa hình tròn. Lúc này cần cho mức tăng của bán kính kèm theo mức tăng của diện tích là tính được độ dài bán kính.

– Thay mảnh vườn hình thang bằng mảnh vườn hình chữ nhật. Lúc này không cần cho quan hệ giữa hai cạnh mà chỉ cần biết : diện tích vườn, mức tăng của một cạnh kèm theo mức tăng diện tích là tính được hai kích thước của vườn.

DẠNG 4 : Các bài toán về thể tích các hình (khối) :

   VÍ DỤ : Một hồ nước hình hộp chữ nhật dài 4m, chiều rộng bằng  chiều dài, chiều cao bằng trung bình cộng của chiều dài và chiều rộng.

a) Người ta lát đáy hồ và thành hồ bằng các viên gạch bông hình vuông cạnh dài 20cm. Tính số viên gạch bông cần dùng (diện tích các khe mạch không đáng kể).

b) Lúc 9 giờ 25 phút người ta mở hai vòi nước vào hồ. Vòi thứ nhất mỗi phút chảy được 52 l, vòi thứ hai mỗi phút chảy được hơn vòi thứ nhất 15 l. Biết rằng lúc đầu trong hồ không có nước, hỏi hồ đầy nước lúc mấy giờ ?

1. Yêu cầu :

Để giải được bài này học sinh cần biết vận dụng tổng hợp các kiến thức và kĩ năng sau :

a) Cách tính diện tích hình vuông.

b)  Cách tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích hình hộp chữ nhật.

c) Cách tính lượng nước chảy theo lưu lượng và thời gian và cách giải bài toán « Hai vòi nước cùng chảy vào một hồ ».

d)  Các phép tính với phân số, số đo độ dài, số đo thời gian.

2. Cách giảng dạy :

Hướng dẫn học sinh tự giải

a)    Tìm hiểu đề toán :

Câu a : Bài toán cho gì ? (Hình hộp chữ nhật chiều dài 4m, chiều rộng bằng  chiều dài, chiều cao bằng trung bình cộng của chiều dài và chiều rộng, gạch vuông cạnh dài 20 cm. Lúc đầu bể không có nước.)

Bài toán hỏi gì? ( Chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hình hộp chữ nhật ( từ câu a); vòi thứ nhất chảy được mỗi phút 52 l, vòi thứ hai mỗi phút chảy nhiều hơn vòi thứ nhất 15l. Bắt đầu chảy từ 9 giờ 25 phút.

– Bài toán hỏi gì? (Bể đầy nước lúc mấy giờ?)

b. Dựa vào các quá trình suy nghĩ trên. Học sinh thực hiện các phép tính và viết bài giải:

Câu a: Chiều rộng hồ nước là:

            4 x = 2,8 (m)

Chiều cao hồ nước là:

            (4 + 2,8) : 2 = 3,4 (m)

Diện tích đáy hồ nước là:

            4 x 2, 8 = 11,2 (m2)

Chu vi đáy hồ nước là:

            (4 + 2,8) x 2 = 13,6 (m)

Diện tích xung quanh hồ nước là:

            13,6 x 3,4 = 46,24 (m2)

  Đổi: 20 cm = 0,2 m

Diện tích một viên gạch bông là:

            0,2 x 0,2 = 0,04 (m2)

Số gạch bông cần dùng là:

            46,24 : 0,04 = 1156 (viên)

Câu b: Thể tích hồ nước là:

            4 x 2,8 x 3,4 = 38,08 (m3)

  38,08 m3 = 38080 dm3 = 38080 l

Mỗi phút vòi thứ hai chảy được:

            52 + 15 = 67 (l)

Mỗi phút cả hai vòi chảy được:

            52 + 67 = 119 (l)

Thời gian nước chảy đầy hồ là:

  38080 : 119 = 320 (phút) hay 5 giờ 20 phút

Hồ nước đầy lúc:

            9 giờ 25 phút + 5 giờ 20 phút = 14 giờ 45 phút

  Đáp số: a) 1156 viên gạch bông

     b) 14 giờ 45 phút

3. Mở rộng:

– Thực ra bài toán này cũng gồm hai bài toán nhỏ. Giáo viên có thể tổ chức cho học sinh giải lần lượt từng câu thì dễ hơn là giải lần lượt cả bài.

– Cũng như ở ví dụ 1, khi giải bài này ta có thể bỏ qua bước lí giải: “ Ba kích thước của hồ nước đều chia hết cho độ dài cạnh viên gạch bông” để cho việc lập luận được đơn giản.

– Cần lưu ý 1 dm3 = 1 l, do đó ta có thể viết:

38080 dm3 = 38080 l mà không sợ sai sót. Vì thế giáo viên không nên yêu cầu học sinh viết “ 38080 dm3 tương đương với 38080 l”, dài dòng và tốn nhiều thời gian của các em.

– Câu (b) thuộc về loại toán”Hai vòi nước cùng chảy vào một hồ”. Loại toán này tương tự loại toán” Hai động tử chuyển động ngược chiều gặp nhau”. Ở đây:

+ Thể tích bể có vai trò giống như khoảng cách ban đầu của hai động tử.

+ Lưu lượng của vòi thứ nhất(hai) có vai trò giống như vận tốc của động tử thứ nhất(hai).

Cả hai loại toán này đều gần giống loại toán điển hình”Tìm hai số biết tổng và tỉ số”. Trong đó:

+ Tổng của hai số ứng với thể tích bể (hoặc quãng đường).

+ Tỉ số của hai số ứng với tỉ số lưu lượng (hoặc tỉ số vận tốc).

         Còn rất nhiều ví dụ  về các dạng toán khác nhưng vì khuôn khổ bài viết có hạn nên không thể trình bày ở đây. Điều cần thiết là giáo viên phải sưu tầm trong các sách tham khảo, sách nghiệp vụ bồi dưỡng thường xuyên và nên lập riêng cho mình một sổ ghi các đề toán hay, tương đối khó để làm tài liệu bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi của lớp mình và mỗi tổ, khối khi sinh hoạt tổ chuyên môn cũng cần trao đổi thảo luận làm phong phú thêm nguồn tài liệu không riêng môn Toán.