Phương pháp giải toán đa thức trên máy tính cầm tay Casio

Phương pháp “Giải toán đa thức trên MTCT Casio” cần được chia làm 03 giai đoạn :

Giai đoạn 1: Khởi động

– Hướng dẫn học sinh rèn luyện kỹ năng bấm máy bằng hai tay .

– Hướng dẫn học sinh  học thuộc chức năng, công dụng của từng loại phím trên máy tính

Giai đoạn 2 :  Tăng tốc 

Hướng dẫn học sinh giải các loại bài tập bằng MTCT CASIO từ đơn giản đến nâng cao

Giai đoạn 3 : Về đích

– Cho học sinh giải các bài toán về đa thức trên máy tính cầm tay CASIO của chương trình SGK hiện hành, giáo viên tự ra hoặc đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, cấp khu vực của những năm học đã qua vào thời điểm kiến thức bài học liên quan tới đa thức trong một số tiết phụ đạo buổi chiều  .

– Tổ chức kiểm tra thử 1 lần/ học kỳ với một số học sinh có MTCT ở mỗi khối lớp7;8;9 với tổng số 112 em.

* Các biện pháp tổ chức thực hiện

+ Trang bị những kiến thức cơ bản về máy tính cầm tay ( fx- 570MS ; 570 – ES)

* Cách tắt mở máy : ON, 

– Mở máy : Ấn SHIFT
– Tắt máy : Ấn       OFF               

– Xóa ký tự vừa ghi : Ấn DELETE

– Các phím chữ vàng : Ấn sau– Các phím chữ trắng: Ấn trực tiếp

* Chức năng của phím : lưu tạm thời một biểu thức và tính ngay giá trị của biểu thức ấy theo mỗi giá trị của các biến (chữ)

   + Phân loại các dạng toán đa thức một cách rõ ràng, đầy đủ mà tôi sẽ trình bày dưới đây.

   + Định hướng cho học sinh ôn tập theo các dạng toán từ dễ đến khó nêu trên.

 Sau đây, tôi sẽ trình bày cụ thể nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp của mình khi dạy một số dạng toán về đa thức (dành cho học sinh khá giỏi cấp THCS có máy tính cầm tay).

*Kiến thức cần vận dụng để giải một số bài toán đa thức

1. Sơ đồ Horner:

Để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x – c) trong trường hợp tổng quát. P(x) =  xⁿ+ x^n-1 +…+x²  + x +  ( n Î N)  chia cho (x – c)

ta có sơ đồ:

				…
c	=	=c+	= c+	…	= c +	r = c +

Vậy: P(x)=q(x)(x – c) + r với q(x) = x^n-1+ x^n-2 +…+ x + 

và r = c(c(…(c(c + ))..)) +  = +  + …+ c +

2. Định lý Bezout : “Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a là f(a)”

* Hệ quả :

– Nếu f(a) = 0 , đa thức f(x) chia hết cho nhị thức x – a

– Dư trong phép chia đa thức f(x) cho (ax + b) là r =  f

– Nếu đa thức P(x) = xⁿ+ x^n-1 +…+x²  + x +  ( n Î N) có n nghiệm  ,  …, thì đa thức P(x) phân tích được thành nhân tử : P(x) = a(x – )(x – ) ….(x – )(x – )

*  Các dạng bài tập áp dụng :

• Dạng 1: Tính giá trị của đa thức
• Dạng 1.1: Tính giá trị của đa thức tại các giá trị của biến (đa thức cho trước)

Bài toán:Tính giá trị của đa thức P(x,y,…) khi x = , y = ; …
Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức để tính.
Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một biến)
Viết . P(x) =  xⁿ+ x^n-1 +…+x²  + x +  ( n Î N)dưới dạng

        P(x) = (a_nx+a_n-1)x^n-1+a_n-2x^n-2+…+a₁x+a₀

                         = ((a_nx+a_n-1)x+a_n-2)x^n-2+a_n-3x^n-3+…+a₁x+a₀

                = (((a_nx+a_n-1)x+a_n-2)x+a_n-3)x^n-3+a_n-4x^n-4+…+a₁x+a₀

                = (…(((a_nx+a_n-1)x+a_n-2)x+a_n-3)x+…)x²+a₁x+a₀

                         = (…((((a_nx+a_n-1)x+a_n-2)x+a_n-3)x+…)x+a₁)x+a₀

Vậy P(x₀) = (…((a_nx₀+a_n-1)x₀+a_n-2)x₀+…)x₀+a₀.
Đặt =  + ; =  + ; …; =  + ; =. Suy ra: P() =  
Từ đây ta có công thức truy hồi:  =  +  với k ≥ 1.

Giải trên máy: – Gán giá trị  vào biến nhớ M.
Thực hiện dãy lặp: +

* Ví dụ 1 : Tính khi x = 1.2004 (lấy kết quả các số trên màn hình)

Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ
Ấn phím: 1.2004
Đáp số :» 0.45792254

Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ
Ấn phím: 1.2004

Đáp số: » 0.45792254

* Phương pháp dùng sơ đồ Horner tương đối phức tạp ít hiệu quả ,đối với máy fx-500 MS; fx-500 ES chỉ nên dùng phương pháp tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS;fx-570 ES có thể thế các giá trị của biến x nhanh bằng cách bấm , máy hỏi X? khi đó khai báo các giá trị của biến x ấn phím là xong. Để có thể kiểm tra lại kết quả sau khi tính nên gán giá trị x₀ vào một biến nhớ nào đó khác biến Ans để tiện kiểm tra và đổi các giá trị.

Bài tập tương tự :
Tính giá trị của biểu thức

a) với x = 1,257; y = 4,523
Đáp số : B = 7,955449483 

b) với x = 0,36; y = 4,15
Đáp số : C = 0,788476899

• Dạng 1.2 : Tính giá trị của đa thức tại các giá trị của biến( đa thức chưa xác định)

* Ví dụ 2 : Xác định hệ số a,b,c,d và tính giá trị của đa thức.

Tại các giá trị của x = 1,15; 1,25; 1,35; 1,45.Biết rằng khi x nhận các giá trị lần lượt 1;2;3;4 thì P(x) có các giá trị tương ứng là 9;21;33;45.

Gải:  Tính giá trị P(x) tại x = 1;2;3;4 ta được kết quả là:   

Lấy 2 vế của phương trình (1) lần lượt nhân với 2;3;4 rồi trừ lần lượt vế theo vế với (2), (3), (4) ta được hệ:                                                                      

Tính trên máy ta được a = -93,5; b= -870; c= -2972,5; d= 4211                                            

Ta có P(x) = x⁵ – 93,5x⁴ +870x³ -2972,5x² + 4211x – 2007

Từ đó tính được:

P(1,15) = 66,15927281; P(1,25) = 86,21777344; P(1,35) = 94,91819906; P(1,45) = 94,66489969

Bài tập tương tự :
Bài 1:(Thi khu vực 2002, lớp 9)

Cho P(x) = x⁵ + ax⁴ + bx³ + cx² + dx + f.

Biết P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25.

Tính P(6), P(7).

HD:Ta có P(1) =1 = 1²; P(2) = 4 = 2²; P(3) = 9 = 3²; P(4) = 16 = 4²; P(5) = 25 = 5²

Xét đa thức Q(x) = P(x) – x².

Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0.

Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x).

Vì hệ số của x⁵ bằng 1 nên Q(x) có dạng:

Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5).

Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) – 6²

Hay P(6) = 5! + 6² = 156.

Bài 2: Cho đa thức Q(x) = x⁴ + mx³ + nx² + px + q và biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 ,

Q(3) = 9, Q(4) =11
Tính các giá trị Q(10) , Q(11) Q(12) , Q(13)
HD:Ta giả sử k(x) = ax² + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị
k(1) = 1; k(2) = 4 , k(3) = 9(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)
ta có hệ phương trình :  
nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 0 , b = 2 , c = 3 và k(x) = 2x + 3 . Thử tiếp thấy k(4) = 11
Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)+ 2x + 3
và P(10) = 23;P(11)=25;P(12) = 27;P(13)=29.

Bài 3: Cho đa thức f(x) = 2x⁵ +ax⁴ +bx³ +cx² +dx + e . Biết f(1) = 1, f(2) = 3,

f(3) = 7, f(4)= 13, f(5) = 21
Tính f(34,567).
HD:Ta giả sử k(x) = ax² + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị
k(1) = 1; k(2) = 4 , k(3) = 9 

(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)
ta có hệ phương trình :
nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 1 , b = -1 , c = 1

Þk(x) = x² – x + 1. Thử tiếp thấy k(1) = 1 và k(2) = 3
Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x² – x +1
ÞP(34,567) = (34,567)² – 34,567 + 1 = 1161,310489

Bài 4: Cho đa thức P(x) = x⁵ + ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
Biết P(1) = –1 ; P(2) = –1 ; P(3) = 1 ; P(4) = 5 ; P(5) = 11 . Hãy tính P(15); P(16); P(18,25)
HD:Ta giả sử k(x) = ax² + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị
k(1) = -1; k(2) = -1 , k(3) = 1
(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)
ta có hệ phương trình :  
nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 1 , b = -3 , c = 1
và k(x) = x² – 3x + 1. Thử tiếp thấy k(4) = 5 và k(5) = 11
Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x² – 3x +1
và P(15) = (15)² – 3.15 + 1 = 181;P(15) = (16)² – 3.16 + 1 = 209;
P(18.25) = (18.25)² – 3×18.25 + 1 = 278

* Vận dụng linh hoạt các phương pháp , kết hợp với máy tính có thể giải được rất nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả năng nhẩm nghiệm không được . Do đó yêu cầu phải nắm vững phương pháp và vận dụng các phép biến đổi một cách hợp lí , logic.

Bài toán sau đây là một ví dụ mà nhiều học sinh dễ nhầm lẫn trong quá trình giải.

* Ví dụ 3: Xác định đa thức A(x) = x⁴+ax³+bx²+cx+d  .

              Biết A(1) =1;  A(2) =3;  A(3) =5; A(4) =7. Tính A(8), A(9)

– Đặt B(x) = 2x-1. Ta có: B(1)=1; B(2)=3; B(3)=5; B(4)=7

Þ A(x)-B(x) có 4 nghiệm  1; 2; 3; 4

 ÞA(x)-B(x)= (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

Û A(x)= (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+B(x)

Û A(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+2x-1

Û A(x)=x⁴-10x³+35x²-50x+24 +2x – 1= x⁴-10x³+35x²-48x+23

Tính trên máy:   A(8)=7.6.5.4+2.8-1=855  

                           A(9)=8.7.6.5+2.9-1=1697

* Ví dụ 4: Cho P(x) = x⁵ + ax⁴ + bx³ + cx² + dx + 132005
Biết P(1) = 8 , P(2) = 11 , P(3) = 14 , P(4) = 17 Tính P(15)
Giải :
Xét đa thức phụ k(x) = 3x + 5
Ta có k(1) = 8 ; k(2) = 11 ; k(3) = 14 ; k(4) = 17
Đặt Q(x) = P(x) – k(x)
Ta có Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = 0 hay Q(x) có 4 nghiệm là 1 , 2 , 3 , 4 .
Từ đó suy ra Q(x) phân tích được thành nhân tử :
Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)

mà Q(x) = P(x) – k(x) và P(x) = Q(x) + k(x)
= (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) + 3x + 5
vậy P(15) = 24074 (*)
(*) Chúng ta đã làm đúng theo qui trình của phương pháp vừa đưa ra nhưng kết quả nhận được là một đáp án sai. Vậy chúng ta đã nhầm lẫn ở bước nào?
Ở bài toán trên khi chúng ta đặt đa thức Q(x) = P(x) – k(x) thì kết quả nhận được là đa thức bậc 5 (Cùng bậc với P(x) vì k(x) là bậc 2 mà Q(x) = P(x) – k(x) ) và có hệ số cao nhất là 1 . Nên kết quả của bài sai là do đa thức Q(x) tìm được chỉ là một đa thức bậc 4.
Vậy ta cần giải quyết bài toán này như thế nào?
Đa thứcQ(x) phải có hệ số cao nhất là hệ số cao nhất của P(x) nên Q(x) được phân tích thành nhân tử như sau Q(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) .
Vấn đề còn lại là tìm số I như thế nào ?
Vì Q(x) = P(x) – k(x) Þ P(x) =Q(x) + k(x)
Hay P(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5
Þ Hệ số tự do của P(x) là I.(–1)(–2).(–3).(–4) + 5 = 132005
hay 24I = 132000
và I = 132000:24 = 5500
Vậy P(x) = (x + 5500)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5
và P(15) = 132492410

Bài tập tương tự :
Cho đa thức P(x) = 2x⁵ + ax⁴ + bx³ + cx² + dx + 115197
Biết P(1) = ­–1 , P(2) = 1, P(3) = 3 , P(4) = 5 . Tính P(12)

 HD:Ta giả sử k(x) = ax² + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị
k(1) = 8; k(2) = 11 , k(3) = 14
(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)

ta có hệ phương trình :  
nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 0 , b = 2 , c = -3
 k(x) = 2x – 3. Thử tiếp thấy k(4) = 5
Vậy P(x) = (x + k) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 2x – 3
Þ Hệ số tự do của P(x) là:  k.(–1)(–2).(–3).(–4) – 3 = 115197
hay 24k = 115200 Þ k = 115200:24 = 4800
Vậy P(x) = (x + 4800)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 2x – 3

Đáp số: P(12) = 38111061

• Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

Nếu không có sự hỗ trợ của MTCT thì việc phân tích đa thức thành nhân tử là một bài toán khó.
Tuy nhiên chúng ta có thể sử dụng chức năng giải phương trình của MTCT để tìm nghiệm, sau đó sử dụng hệ quả của định lý Bezout để giải quyết.
– Nếu đa thức P(x) = xⁿ+ x^n-1 +…+x²  + x +  ( n Î N) có n nghiệm  ,  …, thì đa thức P(x) phân tích được thành nhân tử :
P(x) = a(x – )(x – ) ….(x – )(x – )

* Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x)=4x³ -16x² +9x+9

 Giải:
Trước tiên dùng máy tính giải phương trình f(x)=4x³ -16x² +9x+9=0 (*)

Quy trình bấm phím như sau:

1. Chọn chương trình giải phương trình bậc 3

  Nhập hệ số của (*)

    Bấm 4 =  – 16 = 9 = 9 = -1                                                                                                   

3. Bấm =, ta có giá trị của nghiệm thứ nhất là 3

     Bấm =, ta có giá trị của nghiệm thứ nhất là – 0,5

    Bấm =, ta có giá trị của nghiệm thứ nhất là 1,5   

   suy ra  f(x)=4(x-3)(x+0,5)(x-1,5)=(x-3)(2x+1)(2x-3)

Vậy f(x)=(x-3)(2x+1)(2x-3)     

Bài tập tương tự :

Bài 1 .Cho đa thức f(x) = 2x³ + ax² + bx + 12. Biết rằng f(1) = f(–2) = 0. Tìm a; b và  phân tích đa thức f(x) thành nhân tử.

Đáp số: a = – 4; b = – 10; f(x) = 2(x – 1)(x + 2)(x –3)

Bài 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a) 65x² + 4122x +61093
HD:Tìm chức năng giải phương trình bậc hai
Nhập a = 65 , b = 4122 , c = 61093
Tìm được nghiệm của đa thức trên :  
Vậy đa thức 65x² + 4122x + 61039 được phân tích thành

b) 299 x² – 2004x + 3337
HD:Tìm chức năng giải phương trình bậc hai
Nhập a = 299 , b =- 2004 , c = 3337
Tìm được nghiệm của đa thức trên :
Vậy đa thức 299 x² – 2004x + 3337 được phân tích thành : 299

c) 156x³ – 413 x² – 504 x+ 1265
HD:Tìm chức năng giải phương trình bậc ba
Nhập a = 156 , b =- 413 , c = -504, d = 1265. Tìm được nghiệm của đa thức trên:

Vậy đa thức 156x³ – 413 x² – 504 x+ 1265 được phân tích thành

• Dạng 3: Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức (ax + b)

Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức (ax + b) ta luôn được: P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r. Muốn P(x) chia hết cho x + thì m + r = 0 hay m = -r = – P().

 Sử dụng hệ quả của định lý Bezout và chức năng giải phương trình và hệ phương trình của MTCT để giải quyết.

*Ví dụ 6: Cho đa thức P( x ) =4x⁵-7x⁴+3x³-x+m+15

Tìm m để  P(x) chia hết cho đa thức Q(x) = x-5

Giải: Ta có P(x) chia hết cho Q(x)

Nên  P(5) + m + 15 = 0

Þ m = -P(5) – 15

Sử dụng máy ghi vào màn hình

 4 -7+3 –

Ấn CALC  nhập 5 ấn =  ta được 8495

Vậy m = -8495 – 15= 8510

* Ví dụ 7 : Tìm a và b sao cho hai đa thức

 f(x) = 4x³ – 3x² + 2x + 2a + 3b và

g(x) = 5x⁴ – 4x³ + 3x² – 2x –3a + 2b cùng chia hết cho (x – 3)

Giải:
f(x) và g(x) cùng chia hết cho (x – 3) khi và chỉ khi f(3) = g(3) = 0

Đặt A(x) = 4x³ – 3x² + 2x và B(x) = 5x⁴ – 4x³ + 3x² – 2x

Ta có f(x) = A(x) + 2a + 3b

g(x)=B(x) –3a +2b

f(3) = A(3) + 2a + 3b = 87 +2a + 3b Þ f(3) = 0 Û 2a + 3b = –87

 g(3) = B(3) –3a + 2b = 318–3a +2b Þ g(3) = 0 Û –3a +2b = –318

Ta có hệ phương trình :

Vào chế độ EQN gọi chương trình giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta được nghiệm

( x = 60 ; y = –69) hay a = 60 , b = –69 .

Bài tập tương tự :

Bài 1: (Bộ GD – ĐT, 2005)

Cho biết đa thức P(x) = x⁴ +mx³ -55x² +nx –156 chia hết (x – 2) và chia hết cho (x – 3). Hãy tìm giá trị của m, n và các nghiệm của đa thức.

Giải:
P(x) chia hết cho (x – 2) khi và chỉ khi P(2) = 0

Đặt A(x) = x⁴ – 55x² – 156

Ta có P(x) = A(x) + 8m + 2n

P(2) = A(2) + 8m + 2n = -360 + 8m + 2n Þ P(2) = 0 Û 8m + 2n = 360

P(3) = A(3) +27m + 3n= -570 + 27m + 3n Þ P(3) = 0 Û 27m + 3n = 570

Ta có hệ phương trình :

 ( n = 172; m = 2; )

Bài 2:Tìm m và n để hai đa thức P(x) và Q (x) cùng chia hết cho (x +4 )

P(x) = 4x⁴– 3x³ + 2x² – x + 2m – 3n

Q(x) = 5x⁵ – 7x⁴ + 9x³ – 11x² + 13x – 3m + 2n

 HD : Tương tự như ví dụ 2

Đáp số:m = –4128,8 ; n = –2335,2

• Dạng 4 : Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b

Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong đó rÎR (vì ax + b bậc 1). Thế x= ta được P = r ( Bezout)

Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P

* Ví dụ 8: (Sở GD – ĐT TPHCM, 1998) Tìm số dư trong phép chia:

 Giải: Đặt P(x) =x¹⁴-x⁹-x⁵+x⁴+x²+x-723

thì số dư : r =P(1,624) = 1,624¹⁴ – 1,624⁹ – 1,624⁵ + 1,624⁴ + 1,6242²+ 1,624 – 723

Qui trình ấn máy :

Ấn các phím:

Đáp số: r = 85,92136979

* Ví dụ 9: Tìm số dư trong phép chia:

Giải: Đặt P(x) =3x⁴+5x³-4x²+2x-7

thì số dư : r =P = 3. + 5.  – 4. + 2. – 7

Qui trình ấn máy :
Ấn các phím:

Đáp số: r = 

Bài tập tương tự :
Bài 1: (Sở GD – ĐT Đồng Nai, 1998)
Tìm số dư trong phép chia
Giải:
Số dư : r = (-2,318)⁵ – 6,723(-2,318)³ + 1,857(-2,318)² – 6,458(-2,318) + 4,319
Qui trình ấn máy :
Ấn các phím:

Đáp số: r » 46,07910779

Bài 2: (Sở GD – ĐT Cần Thơ, 2003)
ChoP(x)= x⁴ + 5x³– 4x² + 3x + 50.
Tìm phần dư  và   khi chia P(x) cho x – 2 và x – 3.Tìm BCNN(, )?

Giải:
Số dư :  = 2⁴ + 5.2³ – 4.2² + 3.2 + 50
Số dư :  = 3⁴ + 5.3³ – 4.3² + 3.3 + 50

Qui trình ấn máy :
Ấn các phím:

Đáp số:  = 96 ;  =239 ;BCNN(,) = 22944

• Dạng 5 : Tìm đa thức thương và dư khi chia đa thức cho đa thức

Bài toán : Chia đa thức  x³ + x² + x +  cho x – c ta sẽ được thương là một đa thức bậc hai Q(x) = x² + x + và số dư r.
Vậy  x³ + x² + x +  = (x² + x + )(x – c) + r
= x³ + (–c)x² + (–c)x + (r + c).
Ta lại có công thức truy hồi Horner:  = ; = c + ; = c + ; r = c +
Vậy: r =  +c + c² + c³ 
Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x – c) trong trường hợp tổng quát.

P(x) =  xⁿ+ x^n-1 +…+x²  + x +  ( n Î N) chia cho (x – c)
Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q(x)(x – c)+r theo sơ đồ Horner để được q(x) và r với q(x) = x^n-1 + x^n-2+…+ x² + x + ta được bảng sau:

				…
c	=	= c+	= c+	…	= c +	r = c+

Do đó: r = c(c(…(c(c+ ))..)) + = cⁿ +c^n-1   + …+ c +

* Ví dụ 10: Tìm thương và số dư trong phép chia x⁷ – 2x⁵ – 3x⁴ + x – 1 cho x – 5.
Giải
Ta có: c = 5;   =1;  = 0;  = -2;  = -3; = = = 0; = 1;  = -1; = = 1.
Qui trình ấn máy

Vậy : x⁷ – 2x⁵ – 3x⁴ + x – 1 =
= (x – 5)(x⁶ + 5x⁵ + 23x⁴ + 112x³ + 560x² + 2800x + 14001) + 7004.
( Ta cũng có thể sử dụng biến Ans để tìm các hệ số và số dư)

* Ví dụ 11: Phân tích x⁴ – 3x³ + x – 2 theo bậc của x – 3.

Trước tiên thực hiện phép chia P(x)= (x)(x – c)+  theo sơ đồ Horner để được (x) và. Sau đó lại tiếp tục tìm các (x) và ta được bảng sau:
Tổng quát: P(x) = (x-c)ⁿ + (x-c)^n-1 +…+  (x-c)² +  (x-c) +

	1	0	-3	1	-2	x4-3x2+x-2
3	1	3	6	19	55	(x)=x3+ 3x2 + 6x +19,  = 55
3	1	6	24	91		(x)=x2+ 6x + 24,  = 91
3	1	9	51			(x)=x + 9,  = 51
3	1	12				(x)=1 =,  = 12

Vậy 😡⁴ – 3x³ + x – 2 = (x-3)⁴+ 12(x-3)³+ 51(x-3)² + 91(x-3) + 55

Bài tập tổng hợp:
Bài 1: (Sở GD – ĐT Bắc Ninh, 2005)
Cho đa thức: f(x) = x⁴ +bx³ +cx² + dx + 43 có f(0) = f(-1); f(1)= f(-2);
f(2) = f(-3). Tìm b,c,d.
Với b,c,d vừa tìm được ,Hãy tìm tất cả các số nguyên n sao cho f(n)= n⁴ +bn³ +cn² + dn + 43 là một số chính phương.
HD: Ta có: f(0) = f(-1) Þ b – c + d =1 (1)
f(1)= f(-2) Þ 3b – c + d = 5 (2)
f(2) = f(-3) Þ 7b – c + d = 13 (3)
Giải hệ pt :  
Đáp số: b = 2; c = 2; d = 1
Khi xác định b, c, d ta có đa thức f(x) = x⁴ +2x³ +2x² + x + 43 để tìm n sao cho f(n) là một số chính phương ta làm như sau :
Vì f(n)= n⁴ +2n³ + 2n² + dn + 43=(n² + n + 1)(n² + n) +43 > 0,
Gán n vào biến nhớ  thực hiện dãy tăng ,giảm của biến nhớ để tìm nếu kết quả nhận được một số nguyên thì ta xác định được n để f(n) là một số chính phương.
Đáp số : n = -7; – 2; 1; 6.
Bài 2:
Cho f(2x – 3) = x³ + 3x² – 4x + 5
a) Xác định f(x)
b) Tính f(2,33)
Giải:
a) Đặt t = 2x – 3 Þ 
Þ f(t) = 

Þf(x) = 
b)f(2,33)
Qui trình ấn phím :
Đáp số :34,57410463

Bài 3:
Cho đa thức P(x) =
a) Tính P(–4), P(–3), P(–2), P(–1), P(0), P(1), P(2), P(3), P(4)
b) Chứng minh rằng với mọi xÎ Z thì P(x) nhận giá trị nguyên .

Giải :

a) Tính được P(–4) = P(–3) = P(–2) = P(–1) = P(0) = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = 0

b) Suy ra –4 ,–3 , –2 ,–1 , 0 , 1 , 2, 3 , 4 là 9 nghiệm của của P(x)
ÞP(x) được phân tích thành nhân tử như sau :
P(x) = (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 )
Với x ÎZ thì (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 ) là 9 số nguyên liên tiếp
Trong đó có ít nhất một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 5, một số chia hết cho 7 và một số chia hết cho 9
Đặt A = (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 )
Vì ƯCLN(2,5) = 1 Þ A 10
ƯCLN(7,9) = 1Þ A  63
ƯCLN(10 ,63) = 1 Þ A  630
Þ A là một số nguyên hay P(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x ÎZ

Bài 4: (Đề thi HSG huyện KRông Năng 2010)    

a) Tìm số dư khi chia đa thức cho  x-3

b) Cho hai đa thức:

                    P(x) = x⁴+5x³-4x²+3x+m

                    Q(x) = x⁴+4x³-3x²+2x+n

    Tìm giá trị của m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho  x-2

Giải: a) Thay x=3 vào biểu thức x⁴-3x²-4x+7Þ Kết quả số dư là:

Ghi vào màn hình: X⁴-3X²-4X+7

Gán: 3 SHIFT STO X, di chuyển con trỏ lên dòng biểu thức, ấn =

Kết quả: 49

b) Để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – 2 thì x =2 là nghiệm của P(x) và Q(x)

Ghi vào màn hình: X⁴+5X³-4X²+3X ấn =

-Gán: 2 SHIFT STO X, di chuyển con trỏ lên dòng biểu thức và ấn =

Được kết quả 46  Þ m=-46

Tương tự,  n=-40

Bài 5: (Thi khu vực 2001, lớp 8) Cho đa thức P(x) = 6x³ – 7x² – 16x + m.
a. Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3.
b. Với m vừa tìm được ở câu a hãy tìm số dư r khi chia P(x) cho 3x-2 và phân tích P(x) ra tích các thừa số bậc nhất.
c. Tìm m và n để Q(x) = 2x³ – 5x² – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x-2.
d. Với n vừa tìm được phân tích Q(x) ra tích các thừa số bậc nhất.

HD:a)Đặt g(x) = 6x³ – 7x² – 16x ta có P(x) = g(x) + m
P(x)  (2x + 3 ) Û P() = 0 hay g() + m = 0
Ta có g() = -12 Þ  P() = 0 khi -12 + m = 0 Û m = 12
Đáp số: m = 12b)Ta có: P(x) = 6x³ – 7x² – 16x + 12
ÞSố dư r = P() = 0
c)P(x) , và Q(x) cùng chia hết cho (x – 2) khi và chỉ khi P(2) =Q(2) = 0
Đặt A(x) = 6x³ – 7x² – 16x và B(x) = 2x³ – 5x² – 13x
Ta có P(x) = A(x) + m
g(x)=B(x) + n
P(2) = A(2) + m= -12 + m  Þ P(2) = 0 Û m = 12
Q(2) = B(2) + n = -30 + n Þ Q(2) = 0 Û n = 30
d)Tìm chức năng giải phương trình bậc ba
Nhập a = 2 , b =- 5 , c = – 13, d = 30. Tìm được nghiệm của đa thức trên : 
Vậy đa thức Q(x) = 2×3 – 5×2 – 13x + 30 được phân tích thành:

                           = (2x+5)(x-3)(x-2)

Bài 6: (Thi khu vực 2002, lớp 9) Cho P(x) = x⁴ + 5x³ – 4x² + 3x + m và
Q(x) = x⁴ + 4x³ – 3x² + 2x + n.
a. Tìm giá trị của m, n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2.
b. Với giá trị m, n vừa tìm được chứng tỏ rằng đa thức R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có một nghiệm duy nhất.

HD:P(x) , và Q(x) cùng chia hết cho (x – 2) khi và chỉ khi P(2) =Q(2) = 0
Đặt A(x) = x⁴ + 5x³ – 4x² + 3x và B(x)  = x⁴ + 4x³ – 3x² + 2x
Ta có f(x) = A(x) + m
g(x)=B(x) + n
P(2) = A(2) + m= 46 + m Þ P(2) = 0 Û m = – 46
Q(2) = B(2) + n = 40 + n Þ Q(2) = 0 Û n = – 40Þ R(x) = P(x) – Q(x) = x³ – x² + x – 6 Þ R(x) = 0 Û x³ – x² + x – 6 = 0
Û (x – 2)( x2 + x + 3) = 0 có nghiệm duy nhất x = 2

Bài 7 (Đề thi khu vực 2013): Cho đa thức :  M(x)  =  x⁴  +  ax³  +  bx²  +  cx  +  d

Biết  M(1)  =  10  ;  M(2)  =  20  ;  M(3)  =  30. Tính M(10) + M(-6)

Giải:

Ta xét đa thức P(x)  =  M(x)  –  10 x                                                                    

P(1)  =  M(1)  –  10  =  10 – 10 = 0

P(2)  =  M(2)  –  20  =  20 – 20 =  0

P(3)  =  M(3)  –  30  =  30 – 30 =  0

Þ x  =  1  ;  x  =  2  ;  x  =  3    là 3 nghiệm của đa thức P(x)                               

Do đó P(x) có dạng

P(x) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) ( x – 3 ) ( x – a )  ( a Î Q )                                                

Þ M(x) = p(x) + 10x = ( x – 1 ) ( x – 2 ) ( x – 3 ) ( x – a ) + 10 x

Do đó : M(10) = ( 10 – 1 ) ( 10 – 2 ) ( 10 – 3 ) ( 10 – a ) + 100                            

M(- 6) = ( – 6 – 1 ) ( – 6 – 2 ) ( – 6 – 3 ) ( – 6 – a ) – 60                                        

 Þ M(10) – M(- 6 ) = 9.8.7 (10 – a) + 100 + (- 7) (- 8) (- 9) (- 6 – a) – 60

= 7.8.9 ( 10 – a + 6 + a ) + 40 = 7.8.9. 16 + 40

Vậy :  M(- 10) – M (- 6) = 8104                          

Bài 8:
(Thi khu vực 2004)
Cho đa thức P(x) = x³ + bx² + cx + d. Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9. Tính:
a. Các hệ số b, c, d của đa thức P(x).
Đáp số : b = – 3 ; c = 2; d = – 15
b. Tìm số dư r₁ khi chia P(x) cho x – 4.
Đáp số : r₁= 9
c. Tìm số dư r₂ khi chia P(x) cho 2x +3.
Đáp số :r₂ = -28,125

Bài 9: Cho  có

a)Xác định các hệ số  của P(x);  Tính P(2006);

b)Tìm số dư trong phép chia đa thức P(x) cho .

Giải:

HD: a)  có

Theo giả thiết ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình bằng máy tính ta được: .

Vậy:

+ Tính P(2006)

Đáp số: P(2006) = 16176693144672.

b) Tương tự ví dụ 3;4

Đáp số: r=
Bài 10: (Sở GD – ĐT Thái Nguyên, 2004)
a. Cho đa thức P(x) = x⁴+ax³ + bx² + cx + d. Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 42. Tính P(2002)?
b. Khi chia đa thức 2x⁴ + 8x³ – 7x² + 8x – 12 cho đa thức x – 2 ta được thương là đa thức Q(x) có bậc 3. Hãy tìm hệ số của x² trong Q(x)?
HD:a) Tương tự như ví dụ 10
Đáp số: P(2002)= 1598401602004
b) Tương tự như ví dụ 6
Đáp số: Hệ số của x² trong đa thức Q(x) có bậc 3 là 10.

   Trên đây, là một số dạng toán đa thức được trình bày qua các ví dụ và bài tập tương tự cho từng dạng, bài tập tổng hợp rất phong phú. Tuy nhiên vẫn không tránh khỏi các thiếu sót nên mong các quý đồng nghiệp đóng góp ý kiến để đề tài này ngày càng hoàn thiện hơn.