Một số biện pháp giúp học sinh giải toán trên máy tính bỏ túi

Một số biện pháp giúp học sinh giải toán trên máy tính bỏ túi.

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Toán học là bộ môn đòi hỏi sự sáng tạo và không ngừng khám phá các tri thức của nhân loại. Việc bồi dưỡng, phát triễn trí tuệ và năng lực hoạt động sáng tạo của người học là nhiệm vụ trọng tâm của nhà trường nói chung và của bộ môn Toán nói riêng. Sự dụng máy tính bỏ túi để giải toán cũng là một hoạt động phát triễn trí tuệ và năng lực sáng tạo không ngừng của người học rất hiệu quả. Xuất phát từ những kĩ năng đơn giản về sự dụng máy tính bỏ túi để tính toán thông thường như tính giá trị của biểu thức số, giải phương trình bậc hai, hệ phương trình, khai phương hay tìm tỉ số lượng giác của một góc…. học sinh còn được rèn luyện lên ở mức độ cao hơn đó là  rèn luyện tư duy thuật toán thông qua các bài toán về tìm số, dãy số, tìm ƯCLN hay các bài toán thực tế qua đó rèn luyện cho người học khả năng suy luận, phán đoán. Qua đó hình thành và phát triễn nhân cách của người học một cách toàn diễn.

            Hiện nay, với sự phát triễn mạnh mẻ của khoa học kĩ thuật nhất là các ngành thuộc lĩnh vực công nghệ thông tin trong đó máy tính bỏ túi là một thành quả của những tiến bộ đó. Máy tính bỏ túi đã được các em học sinh sự dụng một cách rỗng rãi trong nhà trường, với tư cách là một công cụ hỗ trợ việc giảng dạy, học tập hay cả việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng hiện đại như hiện nay. Đặc biệt với tính năng mạnh như của các máy Casio Fx-500MS, Casio Fx-570 MS, Casio Fx-570 VN Plus …. trở lên thì người học có thêm cơ hội được rèn luyện và phát triễn tư duy,  sáng tạo các thuật toán một cách có hiệu quả.

Bên cạnh đó, từ năm 2001, BGD&ĐT bắt đầu tổ chức cuộc thi “Giải toán trên máy tính cầm tay”  cho học sinh THCS từ cấp trường đến cấp Quốc gia, nhằm góp phần phát huy trí lực của học sinh và tận dụng những tính năng ưu việt của máy tính bỏ túi để hỗ trợ học sinh học tốt các môn học khác như: Vật Lý, Hoá Học, Sinh Học, …. Do đó đề tài này đề cập đến một vấn đề là giúp học sinh khai thác tối đa các chức năng của máy tính bỏ túi để vận dụng vào việc giải nhanh các bài toán một cách chính xác và hiệu quả. Qua đó giúp học sinh nghiên cứu và tiếp cận đến những kiến thức mới. Đáp ứng được yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học và nâng cao chất lượng giảng dạy hiện nay. Từ những lý do trên tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm “Một số biện pháp giúp học sinh giải toán trên máy tính bỏ túi”.

2. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:

Qua tìm hiểu, nghiên cứu thu thập tài liệu năm học 2013 – 2014 bản tôi đã đưa ra một số phương pháp giải toán máy bỏ túi như sau:

     + Dạng 1: Tính toán thực hành.

+ Dạng 2: Tìm số dư.

+ Dạng 3: Tìm ƯCLN và BCNN.

+ Dạng 4: Liên phân số.

+ Dạng 5: Các bài toán về đa thức.

+ Dạng 6: Dãy số truy hồi.

+ Dạng 7: Các bài toán kinh tế.

Với sự say mê về toán học và sự đa dạng về các phương pháp giải toán trên máy tính bỏ túi bản thân luôn tìm tòi suy nghỉ để tìm thêm các phương pháp giải khác nhau, đặc biệt các phương pháp ngắn gọn và dể hiểu, nên năm học này bản thân tôi tiếp tục viết thêm các phương pháp mới, các dạng toán mới để hoàn thiện đề tài của mình.

            Năm học này bản thân tôi xin trình bày các dạng toán cũng như các phương pháp giải các dạng toán đó như sau:

Dạng 1.  TÌM ƯỚC VÀ BỘI CỦA MỘT SỐ

TÌM ƯCLN, BCNN CỦA CÁC SỐ

1. TÌM ƯỚC VÀ BỘI CỦA MỘT SỐ:
2. 1. Tìm các ước của một số a :

Phương pháp: Thực hiện trên máy Casio fx – 570 VN Plus, ta thực hiện như sau:

Nhấn CALC máy hỏi ta nhập 0 sau đo nhấn phím liên tiếp rồi đọc kết quả.

Nhập biểu thức A = A + 1 : a  A

* Quy trình ấn phím: Muốn tìm ước của a, ta thực hiện như sau:

Nhập: A = A + 1 : 120  A Nhấn CALC máy hỏi ta nhập 0 sau đo nhấn phím         liên tiếp rồi đọc kết quả:        

Ta có A = {1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;20;30;40;60;120}

2. Tìm các bội của b:

Phương pháp: Thực hiện trên máy Casio fx – 570 VN Plus, ta thực hiện như sau:

            Nhập biểu thức A = A + 1 : b x A

            Nhấn CALC máy hỏi ta nhập -1 sau đo nhấn phím          liên tiếp rồi đọc kết quả.

Ví dụ : Tìm tập hợp các bội của 7 nhỏ hơn 100.

Nhập: A = A + 1 : 7 x A

Nhấn CALC máy hỏi ta nhập -1 sau đo nhấn phím          liên tiếp rồi đọc kết quả:

Ta có: B = {0;7;14;21;28;35;42;49;56;63;70;77;84;91;98}

3. Kiểm tra số nguyên tố: Để kiểm tra một số là số nguyên tố ta làm như sau:

* Để kiểm tra 1 số có phải là số nguyên tố hay không ta sự dụng định lý: P là số nguyên tố thì P không chia hết cho các số nguyên tố nhỏ hơn .

Ví dụ 1: Số 647 có phải là số nguyên tố không ?

                                                Giải: 

Thực hiện trên máy Casio fx – 570 VN Plus, ta thực hiện như sau:

Ta có  = 25,43

Nhập: A = A + 1 : 647  A

Nhấn phím  máy hỏi A ta nhập sao cho A + 1 là số nguyên tố rồi nhấn phím

Ta thấy trên màn hình kết quả thương là phân số thì kết luận 647 là số nguyên tố.

Ví dụ 2: Tìm các ước nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số 215² + 314²

                                                       Giải:

Tính 215² + 314² = 144821 = 97. 1493

Ta kiểm tra 1493 có phải là số nguyên tố không.  Ta có  = 38,639

* Để kiểm tra 1 số có phải là số nguyên tố hay không ta sự dụng định lý: P là số nguyên tố thì P không chia hết cho các số nguyên tố nhỏ hơn .

Nhập: A = A + 1: 1493A

Nhấn phím  máy hỏi A ta nhập sao cho A + 1 là số nguyên tố rồi nhấn phím

Ta thấy 1493 không chia hết cho các số nguyên tố nhỏ hơn 38 nên 1493 là số nguyên tố.

Vậy 215² + 314² = 144821 = 97.1493 có ước số nguyên tố nhỏ nhất là 97, có ước số nguyên tố lớn nhất là 1493.

Bài tập áp dụng:

      1) Các số sau đây số nào là số nguyên tố:

197; 247; 567; 899; 917; 929

      2) Tìm một ước của 3809783 có chữ số tận cùng là 9.

      3) Tìm một số tự nhiên x biết lập phương của nó có tận cùng là ba chữ số 1.

1. TÌM ƯCLN, BCNN CỦA HAI SỐ :

* Phương pháp:

* Đối với máy Casio fx – 570 VN Plus, ta thực hiện như sau:

– Để tìm ƯCLN(A,B) ta thực hiện nhấn phím:  màn hình xuất hiện GCD ta nhập số A, số B rồi nhấn phím bằng ta được kết quả là ƯCLN của 2 số A và B.

– Để tìm BCNN(A,B) ta thực hiện nhấn phím:  màn hình xuất hiện LCM ta nhập số A, số B rồi nhấn phím bằng ta được kết quả là BCNN của 2 số A và B.

Ví dụ: Tìm a) ƯCLN( 209865; 283935 )

1. b) BCNN(209865; 283935 )

Giải:

* Thực hiện trên máy Casio fx – 570 VN Plus:

     Ghán 209865           A; 283935           B

12345. a) Thực hiện nhấn phím: màn hình xuất hiện GCD ta nhập số A, B rồi nhấn phím bằng ta được kết quả ƯCLN(209865; 283935) = 12345.
12346. b) Thực hiện nhấn phím: màn hình xuất hiện LCM ta nhập số A, B rồi nhấn phím bằng ta được kết quả BCNN(209865; 283935) = 4826895.

Dạng 2. TÌM SỐ DƯ – BÀI TOÁN ĐỒNG DƯ THỨC

1. Tìm số dư:
2. Số dư của số A chia cho số B: ( Đối với số bị chia tối đa 10 chữ số )

– Khác với các thế hệ máy tính trước, Casio fx-570VN PLUS có thể tìm thương và số dư khi chia 1 số tự nhiên cho 1 số tự nhiên chỉ bằng 1 thao tác đơn giản:

+) Nhập số bị chia trước.

            +) Nhấn phím    (R)

                +) Nhấn tiếp số bị chia.

            +) Nhấn dấu để được kết quả.

Ví dụ : Tìm số dư của phép chia 9124565217 cho 123456.

2. Khi số bị chia A lớn hơn 10 chữ số:

– Nếu như số bị chia A là số bình thường nhiều hơn 10 chữ số. Ta ngắt ra thành nhóm đầu 10 chữ số (kể từ bên trái). Ta tìm số dư như phần 1. Rồi viết tiếp sau số dư còn lại là tối đa 10chữ số rồi tìm số dư lần hai. Nếu còn nữa thì tính liên tiếp như vậy.

Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 2345678901234 cho 4567.

Ta tìm số dư của phép chia 234567890 cho 4567 được kết quả là 2203. Tìm tiếp số dư của 22031234  cho 4567. Kết quả cuối cùng là 26. Vậy số dư r = 26.

• Lưu ý: Khi A chia cho B ta được thương là 1 số thập phân, ta thực hiện như sau:

+) Nhập số bị chia trước.

+) Nhấn phím    (R)

                +) Nhấn tiếp số bị chia.

            +) Nhấn dấu để được kết quả (là số thập phân)

            +) Nhấn nhấn dấu          (lnt)

            +) Dư của phép chia là:  

Ví dụ: Tìm dư của phép chia: 30419753041975 cho 151975

1. Tìm số dư của số bị chia được cho bằng dạng lũy thừa quá lớn thì ta dùng phép đồng dư thức theo công thức sau:

Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 12⁶ cho 19

Giải:

Vậy số dư của phép chia 12⁶ cho 19 là 1

Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 176594²⁷ cho 293.

Giải:

Ta có 176594  208 (mod 293)

176594³  208³  3 (mod 293)

176594²⁷   3⁹ (mod 293)

176594²⁷   52 (mod 293)

Vậy 176594²⁷ chia cho 293 có số dư là 52.

*) Lưu ý:

Đối với dạng toán này giúp chúng ta tìm được chữ số hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm,… các chữ số tận cùng của một lũy thừa:

– Tìm chữ số hàng đơn vị có nghĩa tìm số dư của số đó khi chia cho 10 (đồng nghĩa với bài toán yêu cầu tìm chữ số tận cùng của 1 lũy thừa).

– Tìm chữ số hàng chục có nghĩa tìm số dư của số đó khi chia cho 100 (đồng nghĩa với bài toán yêu cầu tìm 2 chữ số tận cùng của 1 lũy thừa).

– Tìm chữ số hàng trăm có nghĩa tìm số dư của số đó khi chia cho 1000 (đồng nghĩa với bài toán yêu cầu tìm 3 chữ số tận cùng của 1 lũy thừa).

 Dạng 3. DÃY SỐ

1. Dãy số Lucas:

– Dãy số Lucas là dãy số tổng quát của dãy Fibonaci: Các số hạng của nó tuân theo quy luật u₁ = a; u₂ = b; u_n+1 = u_n + u_n-1 với mọi n  2 ( với a, b là hai số cho trước)

– Với a = b = 1 thì dãy Lucas trở thành dãy Fibonaci.

* Tổng quát:  u₁ = a; u₂ = b ( a, b tùy ý ). Tính: u_n+1 = u_n + u_n-1 với mọi n  2.

* Phương pháp:  Quy trình tính số Lucas trên Casio fx-570 VN Plus:

   Bấm phím:

                     b      a     (u₃ = ?)

  Và lặp lại dãy phím:

           (u­­­₄ = ?)

                            (u­­­₅ = ?)

– Để tính U₆ ta nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng.

– Để tính U₇ ta nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng.

– Để tính U₈ ta nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng.

– Để tính U₉ ta nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng.

Thực hiện tương tự để tính các U tiếp theo.

Ví dụ : Cho dãy Lucas: u₁ = 1; ­ u­­­₂ = 3; u_n+1 = u_n + u_n-1 với n  2

1. Viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị U_{n + 1}.
2. Sử dụng quy trình bấm phím trên tính U₁₀, U₁₁, U₁₂.

Giải:

1. Quy trình: 3    1     (u₃ = 4)

   Và lặp lại dãy phím:

              (u­­­₄ = 7)

                            (u­­­₅ = 11)

1. Với quy trình trên:

– Để tính U₆ ta nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng, ta có : u­­­₆ = 18 ;

– Để tính U₇ ta tiếp tục nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng, ta có : u­­­₇  = 29 

Thực hiện tương tự, ta có: u­­­₈ = 47 ; u­­­₉ = 76 ; u­­­₁₀ = 123 ; u­­­₁₁ = 199 ; u­­­₁₂ = 322.

2. Dãy số Fibonaci (dãy Lucas) suy rộng tuyến tính có dạng:

* Tổng quát: u₁ = a; ­ u­­­₂ = b; u_n+1 = Mu_n + Nu_n-1 với n  2 ( với a, b là hai số cho trước)

* Phương pháp:  Quy trình tính số Lucas trên Casio fx-570 VN Plus:

Bấm phím:    b     M  N  a     (u₃ = ?)

Và lặp lại dãy phím:

                                      M     N    (u₄ = ?)

                      M     N    (u₅ = ?)

– Để tính U₆ ta nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng.

– Để tính U₇ ta nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng.

– Để tính U₈ ta nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng.

– Để tính U₉ ta nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng.

Thực hiện tương tự để tính các U tiếp theo.

Ví dụ . Cho dãy số: u₁ = 2; ­ u­­­₂ = 3; u_n+1 = 4u_n + 5u_n-1 với n  2.

                         a.Viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị U_{n + 1}.

1. Sử dụng quy trình bấm phím trên tính 16 số hạng đầu tiên.

Giải:

1. Quy trình bấm phím trên Casio fx – 570 VN Plus:

     Bấm phím:

                                3     4  5  2     (u₃ = 22)

Và lặp lại dãy phím:

                                      4     5    (u₄ = 103)

                      4     5    (u₅ = 522)

1. Với quy trình trên:

– Để tính U₆ ta nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng, ta có : u₆ = 2603 ;

– Để tính U₇ ta tiếp tục nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng, ta có : u₇ = 13022 

Thực hiện tương tự, ta có: u₈ = 65103; u₉  = 325522; u₁₀ = 1627603 ; u₁₁ = 8138022 ;

    u₁₂ = 40690103 ; u₁₃ = 203450522 ; u₁₄ = 1017252603 ; u₁₅ = 5086263022 ;

    u₁₆ = 2.54313151¹⁰ .

Bài tập áp dụng:

Bài 1. Cho u₁ = 2; u₂ = 9 và u_n+1 = 19.u_n + 45.u_n-1 với mọi n  2. Xác định u₅, u₁₀?

          Kết quả:  u₅ = 113.661, u₇ = 50.732.586, u₈ = 1071961389, u₉ = 22650232761

          (tính bằng tay)

            u₁₀ = 19u₉ + 45.u₈ = 478592684964 (tính bằng tay).

Bài 2.  Cho dãy số sắp xếp theo thứ tự  với u₁ = 2; u₂ = 20 và u₃ được tính theo công thức:

                   u_n+1 = 2.u_n + u_n-1 với mọi n  2.

20. a) Viết quy tình bấm phím liên tục để tính giá trị của u_n với u₁ = 2; u₂ = 20.
21. b) Xác định u₂₂, u₂₃, u₂₄, u₂₅?

Hướng dẫn:

804. b) Kết quả: u₂₂ = 804.268.156,        u₂₃ = 1.941.675.090

                                u₂₄ = 4.687.618.336,     u₂₅ = 11.316.911.762

          Chú ý: u₂₅ = 2.u₂₄ + u₂₃  (Tính tay).

3. Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:

* Tổng quát: Cho dãy số u₁ = a; u₂ = b; u_n+2 = M. u_n+1 + N. u_n + P ,(n 1)

* Phương pháp:  Quy trình tính số Lucas trên Casio fx-570 VN Plus:

 

Bấm phím:  b   M  NaP    (u₃ = ?)

Và lặp lại dãy phím:                        M              N  P                          (u₄ = ?)

                        M              N  P                          (u₅ = ?)

– Để tính U₆ ta nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng.

– Để tính U₇ ta nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng.

– Để tính U₈ ta nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng.

– Để tính U₉ ta nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng.

Thực hiện tương tự để tính các U tiếp theo.

Ví dụ: Cho dãy số được xác định bởi:   u₁ = 1; u₂ = 2; u_n+2 = 3. u_n+1 + 4. u_n + 5 ,(n 1) 

Hãy lập quy trình tính u_n.

Giải:

Quy trình bấm phím trên Casio fx – 570 VN Plus:

Bấm phím:  2   3  415    (u₃ = 15)

* Với quy trình trên:

– Để tính U₆ ta nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng, ta có : u₆ = 954 ;

– Để tính U₇ ta tiếp tục nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng, ta có : u₇ = 3823 

Thực hiện tương tự, ta có:

Ta được dãy số: 15; 58; 239; 954; 3823; 15290; 61167; 244666; 978671;…                                  

Bài tập: Cho a₁ = 2000; a₂ = 2001 và a_n+2 = 2.a_n+1 – a_n + 3 với mọi n  1. Xác định a₁₀₀?                    Kết quả: a₁₀₀ = 16.652

4. Dãy Fibonacoci (dãy Lucus) suy rộng bậc hai dạng:

* Tổng quát: u₁ = a; u₂ = b ( a, b tùy ý ) và u_n+1 = u + u với mọi n  2.

* Phương pháp:  Quy trình tính số Lucas trên Casio fx-570 VN Plus:

 Bấm phím:

                                b     a     (u₃ = ?)

Và lặp lại dãy phím:

                                              (u₄ = ?)

                                              (u₅ = ?)

– Để tính U₆ ta nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng.

– Để tính U₇ ta nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng.

– Để tính U₈ ta nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng.

– Để tính U₉ ta nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng.

Thực hiện tương tự để tính các U tiếp theo.

Ví dụ: Cho dãy số u₁ = 1, u₂ = 2,  (n  2).

1. Lập qui trình bấm phím liên tục để tính u_n+1?
2. Tính u₆; u₇?

Giải

1. Lập qui trình bấm phím: * Qui trình ấn máy Casio fx-570 VN Plus :

            Ấn các phím:                   

            Lặp lại các phím:         

                             

1. Tính u₇:

            – Để tính U₆ ta nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng: u₆ =750797

            – Thực hiện tương tự để tính các U₇ sẽ tràn màn hình, nên ta thực tính U₇ như sau:

                u₇ =u₆² + u₅² = 750797² + 866² = 563 696 135209 + 749956 = 563 696 885165

Chú ý:  Đến u₇ máy tính không thể hiện thị đầy đủ các chữ số trên màn hình do đó phải tính bằng tay giá trị này trên giấy nháp có sự dụng máy tính hỗ trợ trong khi tính.

Ví dụ: 750797² = 750797.(750.1000+797)

                          = 750797.750.1000 + 750797.797

                          = 563097750.1000 + 598385209

                          = 563097750000 + 598385209

                          = 563 696 135209.

5. Dãy phi tuyến dạng:

* Tổng quát: Cho u₁ = a, u₂ = b,  (với n  2).

* Phương pháp:  Quy trình tính số Lucas trên Casio fx-570 VN Plus:

Ấn các phím:                

Lặp lại các phím:           Tính u₄ gán vào A

                                       Tính u₅ gán vào B

– Để tính U₆ ta nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng.

– Để tính U₇ ta nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng.

– Để tính U₈ ta nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng.

– Để tính U₉ ta nhấn phím  của REPLAY rồi ấn phím bằng.

Thực hiện tương tự để tính các U tiếp theo.

Ví dụ: Cho dãy u₁ = 1, u₂ = 2,  (n  2). Lập qui trình bấm phím liên tục để tính u_n+1?

Giải:

* Qui trình ấn máy  Casio fx-570 VN Plus

Ấn các phím:            

Lặp lại các phím:              

Bài tập áp dụng:

          Bài 1. Cho u₁ = u₂ = 1 và u_n+1 = u + u với mọi n  2.

          Thực hiện trên máy theo qui trình trên ta được dãy: 1, 1, 2, 5, 29, 866, 750797, 

        5636968851¹¹.

   Bài 2. Cho u₁ = u₂ = 1 và u_n+1 = u – u với mọi n  2. Xác đinh u_100­?

    Kết quả: u₁₀₀ = -1

6. Một số dạng toán thường gặp:

1. Lập công thức truy hồi từ công thức tổng quát:

Cho dãy số . Lập công thức truy hồi để tính  theo ,.

Phương pháp :

Giả sử  u_n+2 = x.u_n+1 + y.u_n + z (*).

Với n = 0, 1, 2, 3 ta tính được u₀ = c₀; u₁ = c₁; u₂ = c₂; u₃ = c₃;  u₄ = c₄

Thay vào (*) ta được hệ phương trình : =>

Tìm được x, y, z thay vào (*) ta được công thức truy hồi.

Ví dụ: Cho dãy số .

Lập công thức truy hồi để tính  theo , .

Giải:

Giả sử  (*).

Với n = 0, 1, 2, 3 ta tính được .

Thay vào (*) ta được hệ phương trình : =>

Vậy .

Chú ý: Với bài trên ta có thể giả sử thì bài toán sẽ giải nhanh hơn.

1. Tìm công thức tổng quát từ công thức truy hồi:

Cho dãy số (*). Tìm CT tổng quát u_n của dãy ?

Phương pháp :

Giải phương trình đặc trưng của phương trình (*) là:

thông thường có hai nghiệm x₁; x₂.

Khi đó CTTQ có dạng

Với n = 0; 1 ta có hệ phương trình sau: =>

Thay c₁ và c₂  vào  ta được CTTQ : .

Ví dụ 1: Cho dãy số(*). Tìm công thức tổng quát u_n của dãy?

Giải:

Phương trình đặc trưng của phương trình (*) là:  có hai nghiệm

Vậy

Với n = 0; 1 ta có hệ phương trình sau: =>

Vậy số hạng tổng quát .

Ví dụ 2: Cho dãy số. Tính số hạng thứ u₁₀₀?

Giải:

* Cách 1: Qui trình ấn máy fx-570 VN Plus theo dãy số Fibonaci (dãy Lucas) suy rộng tuyến tính có dạng:  u₁ = a; ­ u­­­₂ = b; u_n+1 = Mu_n + Nu_n-1

* Cách 2:  Tìm công thức tổng quát .

Qui trình ấn máy fx-570 VN Plus

Nhận xét: Như vậy cách 2 sẽ nhanh và chính xác hơn nhiều so với cách 1 nhưng sẽ mất thời gian để tìm ra công thức tổng quát. Do đó nếu số hạng cần tính là nhỏ thì ta dùng cách 1, còn lớn ta sẽ dùng cách 2.

Bài tập áp dụng:

    Bài 1. Cho dãy số u₁ = 144; u₂ = 233; ….; u_n+1 = u_n + u_n-1 với mọi n  2.

                Tính u₁₂, u₃₇, u₃₈, u₃₉.

               Kết quả: u₁₂  = 28657; u₃₇ = 4807526976; u₃₈ = 7778742049;

                              u₃₉ = 12586269025 ( tính bằng tay )

    Bài 2. Cho u₁ = 2; u₂ = 9 và u_n+1 = 19.u_n + 45.u_n-1 với mọi n  2. Xác định u₅, u₁₀?        

          Kết quả:  u₅ = 113.661, u₇ = 50.732.586, u₈ = 1071961389, u₉ = 22650232761

          (tính bằng tay)

            u₁₀ = 19u₉ + 45.u₈ = 478592684964 (tính bằng tay).

Bài 3. Cho u₁ = u₂ = 1 và u_n+1 = u – u với mọi n  2. Xác đinh u_100­?

      Kết quả: u₁₀₀ = -1

Dạng 4. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ, PHƯƠNG TRÌNH

NGHIỆM NGUYÊN VÀ NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO

1. Phương trình vô tỷ:

      Ÿ Sự dụng chức năng

Ví dụ 1: Giải phương trình:

• ĐK: x -1
• Nhập phương trình vào màn hình
• Bấm : Máy hỏi giá trị của x, ta nhập số lớn hơn hoặc bằng -1 và nhấn
• Máy dò tìm và thông báo kết quả: 3

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình đã cho là: x = 3

Ví dụ 2: Giải phương trình:

• ĐK: x -2
• Nhập phương trình vào màn hình
• Bấm : Máy hỏi giá trị của x, ta nhập số lớn hơn hoặc bằng -2 và nhấn
• Máy dò tìm và thông báo kết quả: -1,958333333
• Bấm  để đổi về phân số, ta được:

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình đã cho là: x =

* Lưu Ý: Khi máy hỏi X  ta nhập giá trị của X  phải thỏa mãn điều kiện.

Ví dụ 3: Tìm một nghiệm nguyên của phương trình:

• Để giải phương trình đã cho theo phương pháp trên máy báo không giải được, trường hợp này ta giải theo cách sau.
• Sự dụng chức năng: (Lập bảng) thực hiện như sau:

– ĐK:

– 7

– Nhập vế trái phương trình vào màn hình rồi ấn

– Máy xuất hiện g(x) = nhấn

– Máy hỏi Start (giá trị bắt đầu) ? ấn 0

– Máy hỏi End (giá trị bắt đầu) ? ấn 6 

– Máy hỏi Step (bước nhảy hay khoảng cách giữa hai giá trị) ? ấn 1

– Xuất hiện bảng: Ta kiểm tra giá trị của x làm cho f(x) = 0, ta thấy f(5) = 0

Vậy x = 5 là nghiệm của phương trình

Ví dụ 4: Giải phương trình:

2. Phương trình nghiệm nguyên:

Ví dụ 1: Tìm cặp số nguyên dương (x, y) sao cho:

Giải:

– Ta có:

– Quy trình bấm phím:

        + Nhập vào máy : A = A + 1:

        + Nhấn  máy hỏi ta nhập 0

        + Sau đó ta nhấn phím  liên tục, ta được đáp số: (x; y) = (73; 12)

Ví dụ 2: Tìm cặp số nguyên dương (x, y) sao cho:

Giải:

– Ta có:

– Quy trình bấm phím:

        + Nhập vào máy : A = A + 1:

        + Nhấn  máy hỏi ta nhập 0

        + Sau đó ta nhấn phím  liên tục cho A chạy từ 0 đến 29, ta được đáp số: (30; 4)

Ví dụ 3: Tìm cặp số nguyên dương (x, y) sao cho:

Đáp số: (3; 9)

3. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình bậc cao:
4. Cách thực hiện: Quy trình bấm phím trên Casio fx – 570 VN Plus

• Ghi nguyên phương trình vào màn hình phương trình cần tìm nghiệm.
• Ấn phím (Máy hiện X?)
• Nhập giá trị của X, đến khi máy cho kết quả không đổi ta được nghiệm gần đúng của phương trình.

2.Ví dụ:

Tìm nghiệm gần đúng của phương trình: x⁶– 15x -25 =0

Giải:

* Quy trình bấm phím trên Casio fx – 570 VN Plus

            X = 2, ta được: 1,945230675 là nghiệm gần đúng của phương trình.

* Lưu ý: Đối với bài toán này ta nhập X từ 1 trở lên ta sẽ được đáp án đúng.

Bài tập vận dụng

1. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình: x³¹– 11x =13
2. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình: x²³– 19x -27 =0
3. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình: 12x⁶– 17x -35 =0

Dạng 5.  TÍNH TỔNG XÍCH MA

Ví dụ 1: Tính giá trị của các biểu thức sau: A = 1 + 2 + 3 + … + 49 + 50.

• Tính tổng trên theo tổng xích ma đã được cài sẵn trên máy:

                          A = 1 + 2 + 3 + … + 49 + 50= = 1275

• Hoặc sử dụng máy tính Casio fx- 570 VN Plus:

            A = A + 1: B = B + A nhấn CALC máy hỏi A ta nhập 1, máy hỏi B ta nhập 1, rồi nhấn phím bằng liên tiếp, đến khi A bằng 50 ta được kết quả: 1275

Ví dụ 2: Tính giá trị của các biểu thức sau: B = ?

• Tính tổng trên theo tổng xích ma đã được cài sẵn trên máy:

                        B = = = 4,499205338.

• Hoặc sử dụng máy tính Casio fx- 570 VN Plus:

            A = A + 1: B = : C = B + C  nhấn CALC máy hỏi A ta nhập 1, máy hỏi C ta nhập 1, rồi nhấn phím bằng liên tiếp, đến khi A bằng 50 ta được kết quả: 4,499205338

Ví dụ 3: C = ?

* Tính tổng trên theo tổng xích ma đã được cài sẵn trên máy:

C== = 0,534541474

* Sử dụng máy tính Casio fx- 570 VN Plus:

            A = A + 1: B = : C = B + C  nhấn CALC máy hỏi A ta nhập 1, máy hỏi C ta nhập 1, rồi nhấn phím bằng liên tiếp, đến khi A bằng 50 ta được kết quả: 0,534541474

Ví dụ 4:

1. a) Tính S = chính xác đến 4 chữ số thập phân.

* Sử dụng máy tính Casio fx – 570 VN Plus, Viết vào màn hình của máy dãy lệnh:

X=X+1: A = 1û X : B = B + A : C =  CB

Gán số 1 cho các biến X, B, C, rồi thực hiện ấn phím =  liên tiếp cho đến khi X = 10, lúc đó ta có kết quả gần đúng chính xác đến 4 chữ s thập phân  của S là: 1871,4353

1. b) Tính :

* Sử dụng máy tính Casio fx – 570 VN Plus, Viết vào màn hình của máy dãy lệnh:

X=X+1: A = 1û  : B = B + A : C =  CB

Gán số 1 cho các biến X, B, C, rồi thực hiện ấn phím =  liên tiếp cho đến khi X = 9, lúc đó ta có kết quả gần đúng chính xác đến 4 chữ so thập phân  của F là: 31730,34697

Ví dụ 5: Tính chính xác giá trị của biểu thức số:

P = 3 + 33 + 333 + … +    33…..33

                                               13 chữ số 3

• Sử dụng máy tính Casio fx- 570 VN Plus:

            A = A + 1: B =10B + 3: C = B + C  nhấn CALC máy hỏi A ta nhập 0, máy hỏi B ta nhập 0, máy hỏi C ta nhập 0, rồi nhấn phím bằng liên tiếp, đến khi A bằng 13 ta được kết quả: 3.703703703699

Bài tập áp dụng:

Bài 1. Tính các tổng sau:

2. a) S₁= 2.4 + 4.6 + …+ 2006.2008; Đáp số: S₁ ==1349396080
3. b) S₂ = ; Đáp số: S₁ ==40

Bài 2.  Tính giá trị các biểu thức:

Dạng 6. TÌM SỐ TỰ NHIÊN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Bài 1: Tìm a và b biết 2007ab  là số chính phương.

Giải:

Ta thấy 0 a 9 và b = 0; 1; 4; 5; 6; 9

Quy trình : A = A + 1 :

Lần lượt thay b = 0; 1; 4; 5; 6; 9

Cho A chạy từ 0 đến 9 với mỗi trường hợp của b ta được a = 0 ; b = 4 thì 200704 là số chính phương.

Bài 2: Tìm a và b biết 17712ab81  là số chính phương.

Giải:

Cách 1 : Ta có:

              Vậy a = 9; b = 4.

Cách 2 : Thực hiện như bài 1.

Bài 3:  Tìm các chữ số a, b, c, d sao cho số 567abcda  là số chính phương. Nêu quy trình bấm phím để có kết quả.

Giải:

Ta có: ;

Do đó số đã cho là bình phương của 1 số nguyên nằm trong khoảng(7529; 7536). Ta lập bảng:

x	7530	7531	7532	7533	7534	7535	7536
x2	00900	15961	31024	46089	61156	6225	91296

Theo dề bài, ta có các số là: 56700900; 56715961; 5676115

Bài 4:  Tìm chữ số b sao cho số 469283866b3658 chia hết cho 2007.

Giải:

Ta ghi vào màn hình: 469283866  :   R 2007 ta được: q = 233823; R = 1105

Tiếp tục dùng máy để dò:

            A = A + 1 :(110503658 + A.10⁴)  :   2007

Nhấn CALC máy hỏi A, ta nhập (-1) rồi nhấn phím = liên tiếp cho đến khi ta thấy  R = 0 thì giá trị b tương ứng tìm được là 7. Vậy b = 7.

Bài tập áp dụng :

Bài tập : Tìm a, b, c biết số 11a8b1987c chia hết cho 504.

Dạng 7. HÌNH HỌC

      Qua tham khảo các đề thi học sinh giỏi của các kì thi năm trước bản thân tôi nhận thấy các bài tập phần hình học mang nội dung tính toán là chủ yếu, như tính số đo độ dài đoạn thẳng, số đo góc, tính diện tích tam giác,…. vì vậy ngoài những kiến thức cơ bản, những định lý trong sách giáo khoa giáo viên cần giúp học sinh nắm vững các mối liên hệ giữa độ dài 3 cạnh của tam giác, chu vi tam giác, diện tích tam giác, bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác,…

Ví dụ:

*) Đối với tam giác ta cần cung cấp cho học sinh các kiến thức sau :

– Tính diện tích tam giác bằng công thức Hê-công: S =  

hoặc S ; r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

– Tính bán kính đường tròn nội tiếp theo công thức:   

– Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp theo công thức:

– Tính đường cao ứng với độ dài các cạnh của tam giác: 2S = a.h_a = b.h_b = c.h_c h_a =

– Tính số đo góc của tam giác theo định lý hàm số Cô Sin: .

Suy ra :  

– Tính số đo góc của tam giác theo định lý hàm số Sin: .

Suy ra :

– Trung tuyến:

– Định lý hàm số Sin:

– Định lý hàm số Cosin: a² = b² + c² – 2bccosA

– Đường phân giác:  

Trong đó: p là nữa chu vi tam giác; a, b, c là 3 cạnh của tam giác; r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác; R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

*) Đối với da giác đều n cạnh, độ dài cạnh là a:

– Góc ở tâm:   (rad),  hoặc:   (độ)

– Góc ở đỉnh:   (rad),  hoặc   (độ)

– Diện tích:    

Bài tập áp dụng :

Bài 1: Tính cạnh AB, AC, góc C của tam giác ABC, biết:

BC = 4,38  ; 54^o35’12’’ ; 101^o15’7’’

Bài 2: Tam giác ABC có: 49^o27’;  73^o52’  và cạnh BC = 18,53.

Tính diện tích S của tam giác ?

Bài 3: Tam giác ABC có chu vi 58 (cm) ; 57^o18’ và 82^o35’

Tính độ dài các cạnh AB, BC, CA ?

Bài 4: Tam giác ABC có 90^o <  < 180^o và sinA = 0,6153 ; AB = 17,2 ; AC = 14,6.

Tính: 1) Độ dài cạnh BC ? Trung tuyến AM ?

         2) Góc ?

         3) Diện tích tam giác S = ?

Bài 5: Tam giác ABC có 90^o ; AB = 7 (cm) ; AC = 5 (cm).

Tính độ dài đường phân giác trong AD và phân giác ngoài AE ?

3. Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu:

            Để thực hiện đề tài này bản thân tôi đã tiến hành dạy bồi dượng cho các em học sinh khối 8 và khối 9 trường THCS Nguyễn Tất Thành và kết quả đạt được như phần II.4.

            Qua thực nghiệm đề tài bản thân tôi thấy học sinh có hứng thú với môn học, say mê nghiên cứu, các em rèn được tính tự giác, độc lập và sáng tạo. Qua đó chất lượng học tập môn toán của các em cũng được nâng cao rõ rệt.

Với phương pháp dạy bồi dưỡng như trên tôi đã giúp nhiều học sinh đạt giải cao trong các kỳ thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi CASIO cấp huyện, cấp tỉnh trong những năm tôi được phân công giảng dạy.

Qua thực nghiệm đề tài này đã tạo cho các em học sinh lòng say mê học toán nói chung cũng như tạo ra phong trào học môn máy tính bỏ túi nói riêng, qua đó  hằng năm trường THCS Nguyễn Tất Thành luôn có đội tuyển học sinh giỏi máy tính bỏ túi để dự thi các cấp. Và cũng qua đề tài này đã nâng cao được chất lượng dạy và học của thầy và trò trường THCS Nguyễn Tất Thành.

4. Kết luận:

– Qua thực hiện đề tài này bản thân tôi đã nêu lên thực trạng dạy và học môn máy tính bỏ túi của trường THCS việc dạy và học môn máy tính bỏ túi của đa số giáo viên. Qua đó bản thân tôi đã đưa ra một số phương pháp giải toán trên máy tính bỏ túi hy vọng góp phần thực hiện tốt việc đưa máy tính vào thực tế giảng dạy và bồi dưỡng để hàng năm có nhiều học sinh đạt giải cao trong các kỳ thi học sinh giỏi về giải toán trên máy tính bỏ túi.

– Tôi viết SKKN này nhằm mục đích chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh những kinh nghiệm mà bản thân tích lũy được trong quá trình giảng dạy. Các phương pháp  được trình bày trong SKKN này mong muốn khai thác và sử dụng máy tính cầm tay một cách thật hiệu quả trong công việc giảng dạy và học tập bộ môn toán. Những vấn đề được trình bày trong SKKN này là những gợi ý, hy vọng rằng quý đồng nghiệp sẽ tiếp tục nghiên cứu để đưa ra ngày càng nhiều các thủ thuật ứng dụng máy tính cầm tay sao cho thật hiệu quả. Nếu làm tốt công việc này sẽ giúp cho việc học toán của các em học sinh được nhẹ nhàng hơn và giúp cho các em đạt kết quả cao trong học tập. Hy vọng với phương pháp này giúp cho các giáo viên dạy môn toán  khi bồi dưỡng HSG giải bằng máy tính bỏ túi có thêm kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh đạt kết quả tốt trong các kỳ thi vòng huyện, vòng tỉnh. Dù cố gắng nhiều nhưng đây chỉ là ý kiến của riêng tôi nên không thể tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để đề tài này hoàn thiện hơn và trở thành một tài liệu hỗ trở cho giáo viên và học sinh trong quá trình giảng dạy.

NỘI DUNG NÀY DO KÍ HIỆU TOÁN HỌC NHIỀU NÊN KHÔNG HIỂN THỊ TRÊN WEB. VÌ VẬY THẦY CÔ BẤM VÀO ĐÂY ĐỂ TẢI MIỄN PHÍ BẢN ĐẦY ĐỦ